人们在实验中能观察到的只是光谱线的频率和强度。于是，海森堡从玻尔对应原理出发，“设法建立起一个理论的量子力学，它与经典力学相类似，而在这种量子力学中，只有可观察量之间的关系出现。”他在玻尔的频率条件和克拉姆斯的色散理论中看到了可以这样做的迹象。根据玻尔的频率条件，可以用电子的特征振幅来表示原子中各电子间的相互作用。运用克拉姆斯的量子色散理论，从经典运动方程出发，可以得出一个仅仅以可观测量为基础的量子力学运动方程。这个方程的解在理论上应当能给出原子系统完全确定的频率和能量值，并且也能给出完全确定的量子论的跃迁几率。经过几天紧张的计算，他用得出的方程处理了一个较简单的非谐振子的量子力学系统和绕核作圆周运动的电子的情况，都获得了成功。当他最后算完的时候，已是凌晨三点多钟了。此时他十分兴奋，睡意全无，奔出室外，攀上一座海边的岩塔，一直等到旭日东升。他后来回忆当时的心情时说：“最初，我深为惊奇，我感到，通过原于现象的表面，我正在窥测着一个奇妙的内部世界，而对自然界如此慷慨地层现在我面前的丰富的数学结构，使我感到眼花缭乱。”海森堡在赫尔兰岛上住了一个多星期，终于写成了《关于运动学和动力学的量子论重新解释》一文。他发现量子力学量与经典力学量的不同之处在于：量子力学不遵守一般乘法的交换律，它们是不可对易的，即AB≠BA。从他所得出的方程出发，可以自然地得出符合量子条件的解，而不必像玻尔那样附加几条假说。他知道，“这个十分明显但又错综复杂的物理学问题，只能通过对数学方法的更透彻的研究来解决”。而他的理论在数学处理上只是处于开始阶段，仅能应用于一些简单的例子。所以，他对自己的论文并没十分的把握，犹豫着不敢立即送去发表。经过反复思考，海森堡于7月9日把写完的那篇论文寄给他最严格的评论家泡利，并说：“我冒昧地直接把我的论文手稿寄给您，因为我相信，至少在批判的即否定的方面，它包含了一些真正的物理学。同时我很抱歉，因为我必须要求您在二至三天内把稿寄还我。我必须要么在我留在这里的最后几天内完成它，要么把它付之一炬。”泡利热情支持海森堡理论，并表示，“我向海森堡的勇敢假定致敬”。正是由于泡利的鼓励和支持，这才使海森堡下定决心，将论文送给他的老师玻恩审阅。玻恩看到海森堡的论文后，很快就深刻地认识到他的学生这一工作的重大意义。这时由于海森堡又到哥本哈根去了，他就一方面将海森堡具有划时代意义的论文推荐到《物理学记事》杂志发表，另一方面又与学生约尔丹合作，试图在数学上进一步把海森堡的思想发展成一门系统的量子力学理论。玻恩经过一个星期的苦苦思索，突然想到，如果将玻尔每个定态的能级横写一次，再竖写一次，就会得出一个矩阵。其中，对角位置对应于状态，非对角位置则对应于跃迁。于是，海森堡的那些可观察量就可以用这些列阵来表示，而这些列阵不就是矩阵吗！这种矩阵的运算方法正好与海森堡所得出的运算法则一致。真是“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”，数学家早就为物理学准备好了数学工具，只看哪一位物理学家能捷足先登了。由长期在数学之都哥廷根工作，对数学深感兴趣的玻恩来摘取胜利之果，倒也合情合理，并非偶然。玻恩为这个发现而激动，他立即和约尔丹投入紧张的计算，只用了几天时间，就写出了一篇论文《关于量子力学》。在这篇论文中，他们阐明了矩阵运算法则，应用对应原理，从经典的哈密顿正则方程出发，把矩阵形式应用到海森堡的理论中，得到了一个相当于海森堡量子条件的矩阵方程。根据这个方程，可以进一步导出能量守恒定律和玻尔的频率定则，并成功地应用到了谐振子和非谐振子的量子力学系统。