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连续函数在闭区间内是否一定有最大值
如题所述
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推荐答案 2017-08-02
问题应该是“闭区间上的连续函数是否一定有最大值”吧...
答案是肯定的。
反证法
,若f(x)在[a,b]没有最大值,则对于每个
正整数
n,都存在一个xn∈[a,b],使f(xn)>n。
由数列的列紧性,从数列{xn}里必能选出一个子列,其收敛于p∈[a,b],则其对应的函数值收敛于f(p)。而由于f(xn)>n,所以lim{n->∞}f(xn)=+∞,其任意子列函数值一定趋向无穷,与某子列收敛于f(p)矛盾。
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在闭区间上连续
的
函数
,在该区间上
一定有最大
最小值吗?
答:
是的
,闭区间上的连续函数,必然有最大值和最小值。这是有定理的。开区间(含半开区间)上的连续函数就不一定有最大值和最小值了。区间内的非连续函数也不一定有最大值和最小值。
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