高中数学。已知集合A={x|x^2-5x+4>0}, B={x|x^2-2ax+a+2=0}, 若A∩B≠空集，求实数a取值范围

Question

答案是a>18/7。我想要详细过程。
注意，标准答案是a>18/7。

Answer 1

首先分析集合A： (x-1)*(x-4)>0 解为： x<1 或者 x>4
接下来分析B： 根据A∩B≠空集 判定 B的方程式中x 肯定有解，并且解呢在 集合A 中。
B集合函数中 x 解分别为 2a+根号下（4a^2-4a-8）/2 和 2a-根号下（4a^2-4a-8）/2
简化一下就是 a+根号下((a-2)(a+1)) 和 a-根号下((a-2)(a+1)) 。
既然这两个根在 x<1 或者 x>4 中 ，那么即可转化为下列方程式
a+根号下((a-2)(a+1))>4 1)
a-根号下((a-2)(a+1))<1 2)
分别两边平方，简化成
a^2-a-2>16-8a+a^2 1)
a^2-a-2>1-2a+a^2 2)
两个解分别为 a>18/7 和 a>3 ， 两个取并集 即最后答案是 a>18/7

祝您学习愉快

Answer 2

A: x^2-5x+4>0
(x-1)(x-4)>0
x>4或x<1
若A∩B≠空集,那么B中x的解在1≤x≤4范围内，或者B为空集
令f(x)=x^2-2ax+a+2
1）
函数图像与x轴有交点时
由函数图像可知，f（1）≥0，f（4）≥0
f（1）=1-2a+a+2=-a+3≥0，a≤3 1)
f（4）=16-8a+a+2≥0，a≤18/7 2)
对称轴x=a，1≤a≤4 3）
△=4a^2-4(a+2)≥0,
a^2-a-2≥0
(a-2)(a+1)≥0
a≥2或a≤-1 4）
由1），2），3），4）可得
2≤a≤18/7

2）△<0时，B为空集 ,此时符合条件
△=4a^2-4(a+2)<0,
a^2-a-2<0
(a-2)(a+1)<0
-1<a<2

综上所述，a的取值范围为-1<a≤18/7

晕，题目看反了

Answer 3

A:x<1或x>4

A∩B≠空集
所以B在集合A中有根

从反面思考，若A∩B＝空集
则:
(1)判别式<0,所以－1<a<2

(2)有两等根在[1,4],判别式=0,则a=-1或2
当a=-1时，x=-1舍
当a=2时，x=2取

（3）有两不等根在[1，4]，判别式>0,则a≤-1或a≥2
令f(x)=x^2-2ax+a+2

对称轴x=a∈[1,4]
f(1)≥0，f(4)≥0

解得：2≤a≤18/7

综上，A∩B＝空集时，-1<a≤18/7

所以a≤-1或a>18/7

验证：a=-1时，x=-1,显然满足题意，因此楼主自己检查一下答案吧！

Answer 4

A={x|x^2-5x+4>0}={x|x<1或x>4},
A∩B≠空集 ,则 B≠空集，方程x^2-2ax+a+2=0有实根，
△=4a^2-4(a+2)≥0，即a≤-1或a≥2
A∩B≠空集，则方程x^2-2ax+a+2=0的解至少有一个属于A.
考虑其反面,若方程x^2-2ax+a+2=0的解均在区间[1,4]内,
记f(x)=x^2-2ax+a+2,它是开口向上的抛物线,对称轴x=a,则有
△=4a^2-4(a+2)≥0，1≤a≤4,f(1)=3-a≥0,f(4)=18-7a≥0
解由上四不等式联立的不等式组得 2≤a≤18/7
所以方程x^2-2ax+a+2=0的解至少有一个属于A,满足的条件是:
a≤-1或a>18/7
这就是答案.

Answer 5

(反解法）解：易知，集合A=(-∞,1)∪(4,+∞).显然x=1/2不是方程x²-2ax+a+2=0的解。设t=2x-1,则t≠0,且方程x²-2ax+a+2=0可化为4a-2=t+(9/t).（1）当原方程的根x在(4,+∞)内时，x>4.===>t>7.由“双钩函数”单调性可知，此时t+(9/t)>7+(9/7)=58/7.即4a-2>58/7.===>a>18/7.(2)当原方程的根x在(1/2,1)内时，1/2<x<1.===>0<t<1.由“双钩函数”单调性可知，此时t+(9/t)>10.即4a-2>10.===>a>3.(3)当原方程的根x在(-∞,1/2)内时，x<1/2,===>t<0,-t>0.2-4a=(-t)+[9/(-t)]≥6.===>a≤-1.综上可知，a∈(-∞,-1]∪(18/7,+∞).【注：当a=-1时，方程为x²+2x+1=0.故集合B={-1}.故A∩B={-1}.故LZ的答案有点。。。】

Answer 6

x^2-5x+4>0 (x-1)(x-4)>0 x>4或x<1
x^2-2ax+a+2=0 判别式>=0 a>=2或a<=-1

讨论
（1）方程的两个根在[4,无穷]
f(4)>=0 对称轴a>4 a是空集
（2）方程的两个根在〔无穷，1〕
f(1)>=0 对称轴a<1 a>=2或a<=-1
三个集合取交集 得 a<=-1
(3) 方程的一个根在 (4,无穷)一个在[1，4]
f(1)>=0 f(4)<0 18/7<a<=3
方程的一个根在 (无穷,1)一个在〔1，4〕
f(1)<0 f(4)>=0 a是空集
(4)方程的一个根在(4,无穷)，一个在〔无穷，1〕
f(1)<0 f(4)<0 a>3

综上所述 实数a取值范围
a<=-1 或 18/7<a

完美！