不定积分和求导

Question

这两个哪个对啊，我感觉是第二个对，可是为啥啊，

Answer 1

第一题可用罗必塔法则，再用重要极限公式，最终结果为-1/2，详细步骤如下图所示:

第二题先变形为e的指数形式，再两次罗必塔法则，结果为e，具体步骤如下图所示:

Answer 2

不定积分(indefinite integral)也称为原函数，是对于定积分( definite integral)求解的逆运算。 不定积分的计算公式为：
∫f(x) dx = F(x) + C

其中F(x)是某个函数, C是常数.
这个符号 ∫ 表示不定积分,表示将函数f(x)在x的某个范围内的面积分成若干小块,对其中每一小块取一个高度为f(x)的单位长度来求面积，然后把这些面积相加就是原函数f(x)的面积.
不定积分，即为导函数的逆运算， 从求值变成求函数. 对于不定积分求解，我们需要使用积分表或积分公式来求解.

积分公式是用来解决不定积分问题的常用工具。 常用的积分公式包括：

基本积分公式:∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (其中n≠-1)

常数乘法积分公式:∫ kf(x) dx = k∫f(x) dx + C

加法积分公式：∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx + C

但是在实际应用中经常会遇到不能直接使用积分公式解决的问题，需要使用各种积分方法来

其中常用的积分方法包括：

分部积分法

替代法

关键字法

偏导数法

用反函数求导法

用数学归纳法

通过使用这些积分方法和积分公式，我们可以求出各种不定积分。

Answer 3

第二个对，第一个还要对x^2求导追答

没问题的话点一下采纳，谢谢啦

Answer 4

两个都对。
第二个：∫(x²-1)dx=(1/3)x³-x+c； ∴[∫(x²-1)dx]'= [(1/3)x³-x+c]'=x²-1；
第一个的被积函数是个抽象函数，是一样的，比如把第二个的被积函数写成f(x²)=x²-1;
那么就有[∫f(x²)dx]'=f(x²)=x²-1；
不定积分就是求原函数，而原函数的导数就是被积函数。追问

老师，无论被积函数是具体的还是抽象的，他的不定积分在求导都等于他本身吗

追答

对的。