线性代数的难题！！！急急急！！！

Question

设A，C为n阶正定矩阵，设B是矩阵方程AZ+ZA=C的唯一解。证明：
（1）B是对称矩阵；
（2）B是正定矩阵。

Answer 1

证明:已知A,C都是正定阵，则A，C必然都为对称矩阵

(1)由已知，AZ+ZA=C

两边同时取矩阵的转置，得ZTAT+ATZT=CT

即ZTA+AZT=C

方程AZ+ZA=C和方程ZTA+AZT=C的解必然相同(已知方程有唯一解)
所以Z=ZT ,而B是他的解，所以B=BT,B是对称矩阵。

(2)因为A,B是对称矩阵,根据对称性，容易知道AB也是对称矩阵

所以AB=(AB)T=BTAT=BA,即得AB=BA

由AB+BA=C得

2BA=C, A显然可逆
2B=CA-1

其中C是正定矩阵，A-1是A的逆矩阵，也是正定矩阵，所以2B是两个正定矩阵的乘积,所以2B是正定矩阵，B是正定矩阵。

证毕