已知函数f (x)=cosx,求此函数的傅里叶级数

Question

如题所述

Answer 1

为方便计， 将函数拓广为：f(x)=2+|x|, x属于[-pi,pi]。
将此f拓广为R 上的周期为2pi的周期函数。此函数连续，所以其傅立叶级数收敛于 f(x):

傅里叶级数
f(x)=a0/2 + a1cosx+b1sinx + a2cos2x + b2sin2x + ...+ancosnx+bnsinnx+...

因为 f(x)是偶函数， 所以 bn = 0
a0 = 1/pi 积分（-pi 到 pi）f（x)dx = 2/pi积分（0 到 pi）(2+x)dx=4+pi
an =1/pi积分（-pi 到 pi）f（x)cosnxdx = 2/pi积分（0 到 pi）(2+x)cosnx dx --- 通过分部积分
=0 如果 n 是偶数
= -4/(pi*n^2) 如果 n 是奇数

所以
f(x)= 2+pi/2 - 4/pi(cosx + cos3x / 3^2 + ...+ cos(2n+1)x /(2n+1)^2+...)