P为MxN矩阵(M>=N),P的秩为N,那么B=P’*P是否为正定矩阵?
其中P’为P的转置矩阵,*为矩阵乘法
qdzhonglei,我很笨,不会推理,请直接回答我的问题!
广义定义:设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有zTMz> 0,其中zT 表示z的转置,就称M为正定矩阵。
例如:B为n阶矩阵,E为单位矩阵,a为正实数。在a充分大时,aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)。
狭义定义:一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。
扩展资料
正定矩阵在相合变换下可化为规范型, 即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵(或厄米特矩阵)是正定矩阵。正定矩阵的性质:
1、正定矩阵的行列式恒为正;
2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同;
3、若A是正定矩阵,则A的逆矩阵也是正定矩阵;
4、两个正定矩阵的和是正定矩阵;
5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
等价条件:
1、AA是半正定的;
2、AA的所有主子式均为非负的;
3、AA的特征值均为非负的;
4、存在n阶实矩阵C,使A=C'CC,使A=C′C;
5、存在秩为r的r×n实矩阵BB,使A=B'BA=B′B。
参考资料来源:百度百科-正定矩阵