设三角形ABC，三条中线AD、BE、CF相交于重心G，
延长GD至M，使DM=GD连结MB、MC，
四边形BGCM是平行四边形，
BG=CM，GM=2GD=AG，
BD=CD，
S△GCM=2S△CDG，
S△ABD=S△ADC=S△ABC/2，
根据重心的性质，
AG=2DG，
S△CDG=S△AGC/2==S△ADC/3=S△ABC/6，
S△GCM=S△ABC/3，
GC/CF=MC/BE=GM/AD=2/3，
设以三条中线为边的三角形是PQR，
△GMC∽△PQR，
S△GMC/S△PQR=（2/3)^2=4/9,
S△PQR=9S△GMC/4，
∴S△PQR=(9/4)*S△ABC/3=3S△ABC/4.
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第1个回答 2010-07-10
△ABC有三条中线AD、BE和CF，以这三条中线组成的三角形，其面积与△ABC的面积有什么关系呢?
先推导一下三角形的中线公式。
设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，它们的中点依次为D，E，F，则AD的长可以这样求：在△ABC中，cosB=(a²+c²-b²)/(2ac),在△ABD中，cosB=(a²/4+c²-AD²)/(ac)，所以(a²+c²-b²)/(2ac)=(a²/4+c²-AD²)/(ac)，a²+c²-b²=a²/2+2c²-2AD²，2AD²=b²+c²-a²/2=(2b²+2c²-a²)/2，AD²=(2b²+2c²-a²)/4，AD=√(2b²+2c²-a²)/2。同理BE=√(2a²+2c²-b²)/2，CF=√(2a²+2b²-c²)/2。
设(a+b+c)/2=p,则△ABC的面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=√[(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)]/4
=√[(b²+2bc+c²-a²)(a²-b²-c²+2bc)]/4
=√{[2bc+(b²+c²-a²)][2bc-(b²+c²-a²)]}/4
=√[4b²c²-(b²+c²-a²)²]/4
=√[4b²c²-(b²)²-(c²)²-(a²)²-2b²c²+2a²b²+2a²c²]/4
=√[2b²c²+2a²b²+2a²c²-(b²)²-(c²)²-(a²)²]/4。
设(AD+BE+CF)/2=p′，则△ABC的三条中线围成的三角形的面积为
S′=√[p′(p′-AD)(p′-BE)(p′-CF)]
=√[(AD+BE+CF)(BE+CF-AD)(AD+CF-BE)(AD+BE-CF)]/4
=√{[(AD+BE+CF)(BE+CF-AD)][(AD+CF-BE)(AD+BE-CF)]}/4
=√{[BE²+2BE×CF+CF²-AD²][AD²-BE²-CF²+2BE×CF]}/4
=√{[2BE×CF+(BE²+CF²-AD²)][2BE×CF-(BE²+CF²-AD²)]}/4
=√{4BE²×CF²-(BE²+CF²-AD²)²}/4
=√{4BE²×CF²-[(BE²)²+(CF²)²+(AD²)²+2BE²×CF²-2BE²×AD²-2CF²×AD²]}/4
=√{4BE²×CF²-(BE²)²-(CF²)²-(AD²)²-2BE²×CF²+2BE²×AD²+2CF²×AD²]}/4
=√{2BE²×CF²+2BE²×AD²+2CF²×AD²-(BE²)²-(CF²)²-(AD²)²}/4
=√{BE²(2CF²-BE²)+AD²(2BE²-AD²)+CF²(2AD²-CF²)}/4
=√{(2a²+2c²-b²)/4×(4a²+4b²-2c²-2a²-2c²+b²)/4+(2b²+2c²-a²)/4×(4a²+4c²-2b²-2b²-2c²+a²)4+(2a²+2b²-c²)/4×(4b²+4c²-2a²-2a²-2b²+c²)/4}/4
=√{(2a²+2c²-b²)/4×(2a²+5b²-4c²)/4+(2b²+2c²-a²)/4×(5a²+2c²-4b²)/4+(2a²+2b²-c²)/4×(2b²+5c²-4a²)/4}/4
=√{(2a²+2c²-b²)(2a²+5b²-4c²)+(2b²+2c²-a²)(5a²+2c²-4b²)+(2a²+2b²-c²)(2b²+5c²-4a²)}/16
=√{4(a²)²+8a²b²-4a²c²-5(b²)²+14b²c²-8(c²)²+4(c²)²+8c²a²-4c²b²-5(a²)²+14a²b²-8(b²)²+4(b²)²+8b²c²-4b²a²-5(c²)²+14a²c²-8(a²)²}/16
=√{18a²b²+18b²c²+18c²a²-9(a²)²-9(b²)²-9(c²)²}/16
=3/4×√{2a²b²+2b²c²+2c²a²-(a²)²-(b²)²-(c²)²}/4。
前面已证√{2a²b²+2b²c²+2c²a²-(a²)²-(b²)²-(c²)²}/4=S,所以
S′=3/4×S。
先推导一下三角形的中线公式。
设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，它们的中点依次为D，E，F，则AD的长可以这样求：在△ABC中，cosB=(a²+c²-b²)/(2ac),在△ABD中，cosB=(a²/4+c²-AD²)/(ac)，所以(a²+c²-b²)/(2ac)=(a²/4+c²-AD²)/(ac)，a²+c²-b²=a²/2+2c²-2AD²，2AD²=b²+c²-a²/2=(2b²+2c²-a²)/2，AD²=(2b²+2c²-a²)/4，AD=√(2b²+2c²-a²)/2。同理BE=√(2a²+2c²-b²)/2，CF=√(2a²+2b²-c²)/2。
设(a+b+c)/2=p,则△ABC的面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=√[(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)]/4
=√[(b²+2bc+c²-a²)(a²-b²-c²+2bc)]/4
=√{[2bc+(b²+c²-a²)][2bc-(b²+c²-a²)]}/4
=√[4b²c²-(b²+c²-a²)²]/4
=√[4b²c²-(b²)²-(c²)²-(a²)²-2b²c²+2a²b²+2a²c²]/4
=√[2b²c²+2a²b²+2a²c²-(b²)²-(c²)²-(a²)²]/4。
设(AD+BE+CF)/2=p′，则△ABC的三条中线围成的三角形的面积为
S′=√[p′(p′-AD)(p′-BE)(p′-CF)]
=√[(AD+BE+CF)(BE+CF-AD)(AD+CF-BE)(AD+BE-CF)]/4
=√{[(AD+BE+CF)(BE+CF-AD)][(AD+CF-BE)(AD+BE-CF)]}/4
=√{[BE²+2BE×CF+CF²-AD²][AD²-BE²-CF²+2BE×CF]}/4
=√{[2BE×CF+(BE²+CF²-AD²)][2BE×CF-(BE²+CF²-AD²)]}/4
=√{4BE²×CF²-(BE²+CF²-AD²)²}/4
=√{4BE²×CF²-[(BE²)²+(CF²)²+(AD²)²+2BE²×CF²-2BE²×AD²-2CF²×AD²]}/4
=√{4BE²×CF²-(BE²)²-(CF²)²-(AD²)²-2BE²×CF²+2BE²×AD²+2CF²×AD²]}/4
=√{2BE²×CF²+2BE²×AD²+2CF²×AD²-(BE²)²-(CF²)²-(AD²)²}/4
=√{BE²(2CF²-BE²)+AD²(2BE²-AD²)+CF²(2AD²-CF²)}/4
=√{(2a²+2c²-b²)/4×(4a²+4b²-2c²-2a²-2c²+b²)/4+(2b²+2c²-a²)/4×(4a²+4c²-2b²-2b²-2c²+a²)4+(2a²+2b²-c²)/4×(4b²+4c²-2a²-2a²-2b²+c²)/4}/4
=√{(2a²+2c²-b²)/4×(2a²+5b²-4c²)/4+(2b²+2c²-a²)/4×(5a²+2c²-4b²)/4+(2a²+2b²-c²)/4×(2b²+5c²-4a²)/4}/4
=√{(2a²+2c²-b²)(2a²+5b²-4c²)+(2b²+2c²-a²)(5a²+2c²-4b²)+(2a²+2b²-c²)(2b²+5c²-4a²)}/16
=√{4(a²)²+8a²b²-4a²c²-5(b²)²+14b²c²-8(c²)²+4(c²)²+8c²a²-4c²b²-5(a²)²+14a²b²-8(b²)²+4(b²)²+8b²c²-4b²a²-5(c²)²+14a²c²-8(a²)²}/16
=√{18a²b²+18b²c²+18c²a²-9(a²)²-9(b²)²-9(c²)²}/16
=3/4×√{2a²b²+2b²c²+2c²a²-(a²)²-(b²)²-(c²)²}/4。
前面已证√{2a²b²+2b²c²+2c²a²-(a²)²-(b²)²-(c²)²}/4=S,所以
S′=3/4×S。