已知正方形ABCD内有一点E,E到A、B、C距离的最小值为√2+√6,求正方形的边长.
大家一定要给我讲懂,用初中知识!不要抄袭答案!我知道是2,但一定要有过程!谢谢
再来一道:
已知Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC=3,BC=5,以AB为边向外作正方形ABEF,求正方形中心O与点C的连线长。
一定要两道哦!还要快!谢谢
好感动……虽然我已经做完了,但还是要感谢你们……
题目一其实要求的是在等腰直角三角形ABC内一点P,使得AP+BP+CP最小,这个点是费马点,有关费马点的特性与证明你可以到其他网站看看,我这里提供一个参考链接:http://www.mathchina.com/Cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=2554
费马点特性:与三角形的三个顶点所连的三个夹角等于120°;
费马点证明(技巧性很高):在△ABC中任取一点P,将△APB绕点B逆时针旋转60°得到△A1BP1,则A1P1=AP,P1P=BP1=BP,从而PA+PB+PC=A1P1+P1P+PC<=A1C,(当且仅当A1、P1、P、C共线,即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时取等号);
费马点做法:以AB,BC为边分别向正方形外作等边三角形ABC'和BCA',连AA'和CC'交于P,这个点其实就是所要求的点.
解题:
延长AP与BC相交于E,容易知道,E为BC中点,且AE垂直于BC,∠BPE=60°
设三角形的腰为x,即AB=AC=x,则BE=√2x/2,
BP=CP=BE*2/√3,PE=BE/√3
AP=AE-PE=BE-PE=√2x/2(1-1/√3)
AP+BP+CP=2√2x/2√3+√2x/2(1-1/√3)=√2+√6,得x=2;
问题2:这道题明显要硬算的。应该没有什么技巧。
还要应用三角形求边公式:c^2=a^2+b^2-2abcosC,这个好像是高一的知识,但其实你是绕不开的,初中能靠辅助线做,但最终还是先把这个公式证明了一遍,然后做出来的。没有什么意义.
CO^2=AC^2+AO^2-2AC*AOcosA,
AC=3,BC=5,由勾股定理得AB=√34(出题的人够无聊,干嘛BC不为4呢,这样好算!!!),AO=AB/√2=√17
CO^2=9+17-2*3*√17cos∠CAO=26-6√17cos(45°+∠CAB)=26-6√17(cosAcos45°-sinAsin45°)=26-6√17*√2/2(cosA-sinA)=26-3√34(3/√34-5/√34)=26+3√34*2/√34=32
∴CO=4√2
①易知,E在∠B的平分线上。取坐标系,使B(0,0),A(a.0),C(0.a).
设E(x,x),则y=√2x+2√[x²+(a-x)²]有最小值√2+√6.
从y′=0,可以算得:x=1/2-√3/6.此x代入上式。
√2x+2√[x²+(a-x)²]=√2+√6.
即得a=2.
(“易知”是可以证明的,用f(x,y).f′x=0,f′y=0.比较即得x=y)
②易算,AB=√34.OA=OB=√(34/2).从余弦定理:
OC²=3²+34/2+2×3×cos∠B=5²+34/2-2×5×cos∠B
解得cosB=√(2/34).代入上式。OC=4√2.
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