求三角形中位线定理的证明过程

Question

就是任意一个三角形相临两边的中点所在的直线与第三边平行且是这边的二分之1

我知道这是定理但谁能给我个证明过程?
最好给个图 如果实在不好画可以和我说操作方法我自己画

Answer 1

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。求证DE平行且等于BC/2。
法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。
∵CF∥AD
∴∠A=∠ACF
∵AE=CE、∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE
∴AD=CF
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CF
∴BCFD是平行四边形
∴DF∥BC且DF=BC
∴DE=BC/2
∴三角形的中位线定理成立.
法二：利用相似证
∵D，E分别是AB，AC两边中点
∴AD=AB/2
AE=AC/2
∴AD/AE=AB/AC
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴DE/BC=AD/AB=1/2
∴∠ADE=∠ABC
∴DF∥BC且DE=BC/2
法三：坐标法：
设三角形三点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)
则一条边长为
:根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
另两边中点为((x1+x3)/2，(y1+y3)/2)，和((x2+x3)/2，(y2+y3)/2)
这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2
最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半

Answer 2

https://gss0.baidu.com/70cFfyinKgQFm2e88IuM_a/baike/pic/item/adee30dda31e1fc28c10294a.jpg

如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE平行且等于1/2BC
法一：
过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。
∵CF‖AD
∴∠A=ACF
∵AE=CE、∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE
∴DE=EF=DF/2、AD=CF
∵AD=BD
∴BD=CF
∴BCFD是平行四边形
∴DF‖BC且DF=BC
∴DE=BC/2
∴三角形的中位线定理成立.
法二：
∵D，E分别是AB，AC两边中点
∴AD=AB/2 AE=AC/2
∴AD/AE=AB/AC
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴DE/BC=AD/AB=1/2
∴∠ADE=∠ABC
∴DF‖BC且DE=BC/2本回答被提问者采纳

Answer 3

已知△abc中，d，e分别是ab，ac两边中点。
　　求证de平行且等于1/2bc
　　法一：
　　过c作ab的平行线交de的延长线于f点。
　　∵cf∥ad
　　∴∠a=acf
　　∵ae=ce、∠aed=∠cef
　　∴△ade≌△cfe
　　∴de=ef=df/2、ad=cf
　　∵ad=bd
　　∴bd=cf
　　∴bcfd是平行四边形
　　∴df∥bc且df=bc
　　∴de=bc/2
　　∴三角形的中位线定理成立.
　　法二：
　　∵d，e分别是ab，ac两边中点
　　∴ad=ab/2
ae=ac/2
　　∴ad/ae=ab/ac
　　又∵∠a=∠a
　　∴△ade∽△abc
　　∴de/bc=ad/ab=1/2
　　∴∠ade=∠abc
　　∴df∥bc且de=bc/2