n阶矩阵a相似对角阵的充要条件是什么？

Question

如题所述

Answer 1

n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

证明过程：

（1）必要性

设有可逆矩阵P，使得

令矩阵P的n个列向量为

则有

因而

因为P为可逆矩阵，所以

为线性无关的非零向量，它们分别是矩阵A对应于特征值 

的特征向量。

（2）充分性。

由必要性的证明可见，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，设它们为

 对应的特征值分别为

 则有

 以这些向量为列构造矩阵

 则P可逆，且

 其中C如下：

即

推论

若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。 

说明：当A的特征方程有重根时．就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。

扩展资料

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为diag（a1，a2,...,an) 。对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，值得一提的是：

对角线上的元素可以为 0 或其他值，对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且结果仍为对角阵。