现代几何学的研究方向非常广泛，涵盖了许多不同的领域和应用。以下是一些主要的研究方向：
1.微分几何：研究曲线、曲面和更高维度空间的性质和结构。微分几何在物理学、工程学和计算机科学等领域有广泛的应用。
2.拓扑几何：研究空间的连续性和连通性，以及形状和结构的变化。拓扑几何在数学和物理学中都有重要的应用。
3.代数几何：研究几何对象（如曲线、曲面和空间）的代数性质，如它们的方程和参数化。代数几何在密码学和编码理论中有重要的应用。
4.几何优化：研究如何通过改变形状或结构来最小化或最大化某些量，如体积、表面积或能量。几何优化在工程设计、机器人技术和计算机图形学中有广泛的应用。
5.非欧几里得几何：研究不符合欧几里得公理的空间，如超平面和曲线坐标系。非欧几里得几何在物理学、天文学和计算机图形学中有重要的应用。
6.几何建模和计算机视觉：研究如何使用几何模型来表示和理解现实世界中的物体和场景。这在计算机图形学、虚拟现实和增强现实技术中有广泛的应用。
7.几何学习：研究如何使用机器学习算法来理解和预测几何对象的性质和行为。这在数据挖掘、模式识别和人工智能中有重要的应用。
8.几何量子信息：研究如何使用几何结构和量子力学来处理和传输信息。这在量子计算和量子通信中有重要的应用。