A^n = P^-1 diag(6^n,3^n,3^n)P
解：本题利用了特征向量的性质求解。
由题目可以得知:A的属于特征值3的特征向量与 (1,1,1)^T 正交
则可以求出 (1,-1,0)^T, (1,1,-2)^T
又因为3个特征向量两两正交, 单位化后构成正交矩阵P
则得到A = P^-1 diag(6,3,3)P
所以有 A^n = P^-1 diag(6^n,3^n,3^n)P
扩展资料：
特征向量的第一性质：
线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量 。
线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。
例如，三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。
参考资料来源：百度百科-特征向量
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 推荐于2018-03-18
这题太麻烦, 说说方法吧
A的属于特征值3的特征向量与 (1,1,1)^T 正交
可得 (1,-1,0)^T, (1,1,-2)^T
这3个特征向量两两正交, 单位化后构成正交矩阵P -- 这样可免去求P^-1(=P^T)
则有 A = P^-1 diag(6,3,3)P
所以有 A^n = P^-1 diag(6^n,3^n,3^n)P本回答被网友采纳
A的属于特征值3的特征向量与 (1,1,1)^T 正交
可得 (1,-1,0)^T, (1,1,-2)^T
这3个特征向量两两正交, 单位化后构成正交矩阵P -- 这样可免去求P^-1(=P^T)
则有 A = P^-1 diag(6,3,3)P
所以有 A^n = P^-1 diag(6^n,3^n,3^n)P本回答被网友采纳