如何求1+ x^(1/ x)的极限？

Question

如题所述

Answer 1

要求 (1+x)^(1/x) 的极限，可以使用极限的性质和求极限的方法来解决。
首先，考虑当 x 趋近于无穷大时的极限（x → ∞）。可以将 (1+x)^(1/x) 的形式转化为指数的形式，即 e^(ln((1+x)^(1/x)))。然后使用极限的性质和指数函数的性质来计算极限。
通过以下步骤求解：
1. 取对数：
ln(1+x)^(1/x)
2. 用极限的性质：
lim (x → ∞) ln(1+x) / x
3. 应用洛必达法则（L'Hôpital's rule）：
lim (x → ∞) (1 / (1+x)) / 1
4. 计算极限：
lim (x → ∞) 1 / (1+x)
当 x 趋近于无穷大时，1/(1+x) 趋近于 0。因此，(1+x)^(1/x) 的极限为 e^0 = 1。
举例：
将 x 取一个任意大的正数，比如 x = 1000。那么根据极限计算结果，可以得到 (1+1000)^(1/1000) 的极限是 1。这意味着当 x 趋近于无穷大时，(1+x)^(1/x) 的值无限接近于 1。