比如两点之间直线短最短，说它不证自明的原因是不是因为找不到比它更短的，但是从逻辑上来说你永远也无法穷尽所有两点之间的线段。
这个在数学上是可以证明的，中学将其作为公理更多是由於教学上方便，在数学中不是所有曲线都可以计算长度的，X是距离空间，d是X的距离，曲线[公式]
我们可以定义
[公式]
当[公式] 我们称这个曲线是可求长的，只有可求长曲线才有讨论曲线长度的意义。现在设X是[公式],d是欧氏距离，易看出该曲线长度总是大於[公式],而直线段的长度等於它，由此说明，直线段最短，具体证明从略。
实际上，中学里很多公理都是可以证明，当作公理只是不想证明它们而已，因明证明所需的工具超出中学数学范围。
类似哥德巴赫猜想的这类数学问题为何不能作为公理存在，因为你虽然无法穷尽所有数，但是你却是没有找出个例的错误，它们不能作为公理的原因在哪？
如果你要把哥德巴赫猜想加入peano公理中，首先要证明它和其他公理是一致的，也就是说你能找到一个模型，使得这个新的公理体系是成立的，如果你的模型是标准模型，其实相当於已经证明了哥德巴赫猜想，如果你使用的这个模型不是标准模型，那麼从理论上来说你可以将歌巴赫猜想当作公理的一部分，但是这有什麼意义？一个东西是否能加入数学的公理体系中，实际上是有很多数学家，通过大量实践总结出来的，而并不是空想出来。所以如果你没有充分理由，虽然从原理上，你可以把他加入到公理中，但实际是没有价值的，更何况你不一定会找这种模型，使它和peano公理是一致的。关於哥德巴赫猜想还有一个有趣的结论，就是很多人问哥德巴赫猜想是否是独立的，实际上，如果你能证出哥德巴赫猜想是独立的话，也就是相当於证明它是真的，具体见关于哥德巴赫猜想，有人从哥德尔定理考虑过可证性吗？ - mathiq galory 的回答 - 知乎
数学到底如何确定什么是公理？
我只能谈谈，我认为什麼是公理，至於其他人认为什麼是公理，我也不是很确定，我认为公理就是，有模型的理论。需要说明的是这里的模型和理论，都是术语，和我们通常说，说的化学理论，物理理论，航空模型，数学建模并没有什麼关系。具体可参考维基百科。见Theory (mathematical logic)和Model theory - Wikipedia 实际上，公理二字在大学中很少使用，有的时候你说能在课本上见到公理二字，更多的也是基於历史原因，例如，集合论的各种公理，例如比较有名的选择公理。有时候我们也会说线性空间的那几条定义，是公理，群的那几条定义，是群的公理。所以现代数学所理解的公理和你在中学所学的，所谓的劳动人民通过长时间实践所总结出的的真理，并不是一回事，中学有这种说法，只是因为如果将公理理解成有模型的理论，对中学生对中学教师，无论是理解还是教学都是比较困难。当然有些人可能会问，没有模型理论是否可以研究了，从数学角度来说，这种东西是没有价值，但从逻辑学的角度来说，或许是可以研究的，但是数学家是不怎麼感兴趣，也就这个原因，逻辑学在数学上使用最多的工具，就是模型论，而不是其他的一些分支。
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