解：根据sec²t=1+tan²t，可令x=atant，则 a² +x²=a² +a²*tan²t=a²*sec²t，则
∫(a² +x²)^(-3/2)dx
=∫1/(asect)^3d(atant)
=∫(a*sec²t)/(asect)^3dt
=1/a²∫1/sectdt
=1/a²∫costdt
=1/a²*sint+C
又x=atant，tant=x/a，则sint=x/√(a² +x²)，那么
∫(a² +x²)^(-3/2)dx=1/a²*sint+C
=x/(a²*√(a² +x²))+C
扩展资料：
1、三角函数关系公式
（1）倒数关系公式
sinx*cscx=1、 tanx*cotx=1、cosx*secx=1
（2）商数关系
tanx=sinx/cosx、cotx=cosx/sinx
（3）平方关系
(sinx)^2+(cosx)^2=1、1+(tanx)^2=(secx)^2、1+(cotx)^2=(cscx)^2
2、不定积分的换元法
（1）凑微分法
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。
例：∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+C
（2）通过根式代换法或者三角代换法进行求解
例：∫sinxcosxdx=∫sinxdsinx=1/2sin²x+C
例：∫√(1-x^2)dx，通过令x=sint可得，∫costdsint=∫(cost)^2dt=∫(1/2+cos2t/2)dt
=1/2t+1/4sin2t+C=1/2t+1/2sintcost+C
把sint=x，cost=√(1-x^2)即t=arcsinx代入得
∫√(1-x^2)dx=1/2arcsinx+1/2*x*√(1-x^2)+C
3、常用积分公式
∫e^xdx=e^x、∫sec²xdx=tanx+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C
参考资料来源：百度百科-不定积分