1的平方加2的平方．．．．一直加到n的平方和是多少？有公式吗？

Question

有公式但如何推导呢？

Answer 1

1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

推导过程：

1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1 。

2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5。 

3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6。 

则当N＝x＋1时，

1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2 

＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6 

＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6 

＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6 

＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6 

也满足公式 

4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。

扩展资料：

平方和公式作用

平方和公式用于求连续自然数的平方和（Sum of squares），可用来求很多关于平方数的数学题，其和又可称之为四角锥数，或金字塔数（square pyramidal number）也就是正方形数的级数。此公式是冯哈伯公式(Faulhaber's formula)的一个特例。

数学归纳法解题过程

第一步：验证n取第一个自然数时成立。

第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。

第三步：总结表述。

Answer 2

平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：N^2=N的平方)
证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6
证法一（归纳猜想法）：
1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当N＝x＋1时，
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也满足公式
4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。
证法二（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6本回答被提问者采纳

Answer 3

平方和公式n(n+1)(2n+1)/6，即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6(注：n^2=n的平方)。这是连续自然数的平方和公式。
证明/平方和公式
证明1＋4＋9＋…＋n^2＝n(n+1)(2n+1)/6
1、n＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2、n＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3、设n＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当n＝x＋1时，
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）【2（x2）＋x＋6（x＋1）】/6
＝（x＋1）【2（x2）＋7x＋6】/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）【（x＋1）＋1】【2（x＋1）+1】/6
也满足公式
4、综上所诉，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。

Answer 4

n(n+1)(2n+1)/6
推导:
可以从1至n的平方和可大致看到数列和为n三次方级别的(这是高阶数列里的有关定理:高阶数列n次方和的表达式是n+1次方)
因此我们设三次方程S=(an^3)+(bn^2)+cn+d
然后代入数列的前几项解系数方程得n(n+1)(2n+1)/6
最后我们用数学归纳法证明这个结论对于一切n都成立
我记得这个叫什么蒙定理....

Answer 5

证明：1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=?
解：利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6