(若+r(A)=r([A,b])=n为什么能推出a1,a2,···,an线性无关,a1,a2,··？

Question

如题所述

Answer 1

这是线性代数中的一个重要概念。这里的 "r(A)" 和 "r([A,b])" 分别表示矩阵 A 和增广矩阵 [A,b] 的秩，而 "n" 是这两个秩的值。"a1, a2, ..., an" 是矩阵 A 的列向量。
如果 r(A) = r([A,b]) = n，那么这意味着矩阵 A 的列向量 a1, a2, ..., an 线性无关。这是因为矩阵的秩定义为其列空间的维度，也就是其线性无关的列向量的最大数量。因此，如果矩阵 A 的秩为 n，那么这意味着它有 n 个线性无关的列向量。
这个结论的一个重要应用是在解线性方程组时。如果一个线性方程组的系数矩阵 A 和增广矩阵 [A,b] 的秩相等，那么这个线性方程组就有解。如果它们的秩都等于 A 的列数，那么这个解就是唯一的。