奥数题高分啦

Question

1 有一张长方形白纸，长1.36米，宽0.8米裁成一样大小的正方形，并使他们的面积尽可能的大而且裁完后没有剩余，一共能裁几张？
2 有一个四边形的广场，它的四边长分别是60米，72米，96米，84米。现在要在四边种上树，如果四边上的每两棵树的距离相等，至少要种几棵？
3 有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，既亮灯又响铃，问下一次既亮灯又响铃是几点钟？
4 两个自然数的和是72，它们的最大公约数和最小公倍数的和是216，两个数是多少？
要过程，急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急！

Answer 1

1.

136与80的最大公约数为8，于是有：
138*80/（8*8）=170
答：这一共可以裁170张

2.

每个顶点都要植树，且四边株距相等。说明株距是这四个边长的公约数，问最少种多少棵就是要求出最大公约数，60，72，96，84的最大公约数是12，所以能种的数量就是（60+72+96+84）÷12+1=28棵

3.

因为电子钟每到整点响铃,所以我们只要考虑哪个整点亮灯就行了.从中午12点起,每9分钟亮一次灯,要过多少个9分钟才到整点呢 由于1小时=60分钟,这个问题换句话说就是:9分钟的多少倍是6O分钟的整数倍呢 这样一来问题的实质就清楚了:是求9分和60最小公倍数. 不难算出9和60的最小公倍数是180.这就是说,从正午起过180分钟,也就是3小时,电子钟会再次既响铃又亮灯. 答:下一次既响铃又亮灯时是下午3点钟.

4.

2、令自然数为A、
另一自然数为B、
最大公约数为X、
最小公倍数为Y
A+B =72
X*Y = A*B
X+Y = 216 = 3(A+B)
M = A/X
N = B/X
则(J+K)X=72
MN+1=3(M+N)
X可能的取值有2、3、4、6、8、9、12、24、36。

经判断，
X=6、M=5、N=7、A=30、B=42。

即两个数为30和42

Answer 2

1) 先求边长最大是多少，先把1.36和0.8放大100倍，变成整数，再求二个数的最大公约数： 136=8*17, 80=8*10
最大公约数是 8，最大边长＝0.08
一共裁： 1.36*0.8/(0.08*0.08)=17*10=170 张。

2）求60、72、96和84的最大公约数。
60=12*5; 72=12*6; 96=12*8, 84=12*7. 最大公约数是12。即最大间距是12。
至少种： (60+72+96+84)/12=5+6+8+7=26棵

3）求9和一小时（＝60分）的最小公倍数。60=3*20, 9=3*3

最小公倍数＝3*20*3=180(分)＝3(小时)

下次是3点。

4) 设两个自然数是a和b，其中a=p*n, b=q*n, (p,q互质且p<q), 那么：a+b=n(p+q)=72, [1]

a，b的最大公约数是n，最小公倍数是：pqn。

则： n+p*q*n=n(1+pq)=216, [2]
[2]/[1]: 1+pq = 3(p+q), pq-3p-3q+1=(p-3)(q-3)-8=0

(p-3)(q-3)=8=1*8=2*4

若 p-3=1, q-3=8 得到：p＝4，q＝11, n=72/(p+q)=72/15 不是整数，舍去。
若 p-3=2, q-3=4, 得到：p=5, q=7，n=72/(5+7)=6

a=6*5=30, b=6*7=42

两个数是30，42

Answer 3

1、因为136和80的最大公约数是8，所以将长1.36米，宽0.8米的长方形裁成边长为0.08米的小正方形，可裁(1.36÷0.08)×(0.8÷0.08)=17×10=170张
2、因为60、72、96、84的最大公约数为12，所以四边上的每两棵树的距离最大为12米，每边上的树分别为：60÷12+1=6（棵），72÷12+1=7（棵），96÷12+1=9（棵），84÷12+1=8（棵）；但因四角上的四棵树各被重复计算了一次，所以至少要种6+7+9+8-4=26(棵）
3、由题意可知：9分钟亮一次灯，60分响一次铃，因为9和60的最小公倍数为180，所以中午12点整过后180分钟又将“既亮灯又响铃”，即下一次既亮灯又响铃是15点（下午3点）
4、设两个自然数分别是pn和qn，其中p,q互质，n是pn和qn的最大公约数, 那么这两数的最小公倍数为pqn，这两数的和为pn+qn=n(p+q)=72 ①
则有： n+pqn=n(1+pq)=216 ②
②÷①，得：
1+pq = 3(p+q)
pq-3p-3q+1=0
(p-3)(q-3)-8=0
(p-3)(q-3)=8
若 p-3=1, q-3=8 得到：p＝4，q＝11, n=72/(4+11)=72/15（不是整数，应舍去）
若 p-3=2, q-3=4, 得到：p=5, q=7，n=72/(5+7)=6
若 p-3=4, q-3=2, 得到：p=7, q=5，n=72/(7+5)=6
若 p-3=8, q-3=1 得到：p＝11，q＝4, n=72/(11+4)=72/15（不是整数，应舍去）
因此，n=6
即两自数分别为30、42

Answer 4

1.36m=136cm 0.8m=80cm
136与80的最大公因数是8
136/8=17 80/8=10
17*10=170