求解一道多元函数微积分的高数题。

Question

第七题

Answer 1

解答;
(1)使用换元法
①f(a-x)=f(a+x)
设t=a-x,代入上式，
f(t)=f(2a-t)既是
f(x)=f(2a-x) / 这一结论可以直接写出来 /
同理
f(x)=f(2b-x)
f(2a-x) =f(2b-x)可以推出 f(x)=f(2b-2a+x) ,得证。
②③同理
(2)f(x+a)=-f(x)=f(x-a)=-f(x-2a)
所以f(x)=f(x-2a),得证。
其它同理。
解:(1)∵抛物线的顶点坐标为A(-2，3)，∴可设抛物线的解析式为 。
由题意得 ，解得 。
∴物线的解析式为 ，即 。
(2)设存在符合条件的点P，其坐标为(p，0)，则
PA = ，PB= ，AB =
当PA=PB时， = ，解得 ;
当PA=PB时， =5，方程无实数解;
当PB=AB时， =5，解得 。
∴x轴上存在符合条件的点P，其坐标为( ，0)或(-1,0)或(1,0)。
(3)∵PA-PB≤AB，∴当A、B、P三点共线时，可得PA-PB的最大值，这个最大值等于AB，
此时点P是直线AB与x轴的交点。
设直线AB的解析式为 ，则
，解得 。∴直线AB的解析式为 ，
当 =0时，解得 。
∴当PA-PB最大时，点P的坐标是(4，0)