湖北省黄冈市黄州区一中2011届高三2011年数学模拟试卷二
选择题
1．则（ ）
A．21004 B．－21004 C．22008 D．－22008
A
解析 。
2．定义集合运算:.设,,则集合 的所有元素之和为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
D
3．已知a,b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a2>b2 B．() a <()b C．lg(a－b)>0 D．>1
4．已知条件: =，条件：直线与圆相切，则是的
（ ）条件
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
A
解析 ：直线与圆相切。
5. 已知集合的集合T= ( )
A、 B、 C、 D、
A
解析 ，因为，所以选（A）。
6．设，则等于（ ）
A． B． C． D．
D
解析 ，选（D）
7．已知圆，点（－2，0）及点（2，），从点观察点，要使视线不被圆挡住，则的取值范围是 ( )
A.（－∞，－1）∪（－1，+∞）
B.（－∞，－2）∪（2，+∞）
C.（－∞，）∪（，+∞）
D.（－∞，－4）∪（4，+∞）
C
解析 如图，,。所以的取值范围是（C）。
8．（文）（ ）
A． B． C． D．
D
解析 。
（理）从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的工厂调查，不同的分派方法有（ ）
A. 100种 B. 400种 C. 480种w.w.w.k.s.5 u.c.o.m D．2400种
D
解析 。
9．函数对任意正整数a、b满足条件，且。则
的值是（ ）
A．2007 B．2008 C．2006 D．2005
B
解析 因为，所以，即，所以
10．已知函数，则对于任意实数、，取值的情况是（ ）
A．大于0 B．小于0 C． 等于0 D．不确定
A
解析 函数是奇函数，且在R上单调增。不妨设，则，所以，所以，所以。
11．为了大力改善交通，庆祝国庆60周年，某地区准备在国庆60周年来临之际，开通A，
B两地之间的公交线路。已知A，B相距15公里，公交的规划要求如下：相邻两个站点之间的距离相等，经过每一站点的汽车前后间隔时间为3分钟，忽略停车时间，设计汽车的行使速度是60公里每小时，则在A，B两地之间投入运行的汽车至少需要（ ）辆。
A．9 B．10 C．11 D．12
B
解析 因为每3分钟一班，行使速度是60公里每小时，所以相邻两个站点之间的距离是3公里，所以从A，B单程需要6个站点，即需要6辆汽车，再加上从B到A需要4辆汽车，所以共需要10辆汽车。
12．已知等差数列｛a｝的前n项和为S，若，，则此数列｛a｝中绝
对值最小的项是（ ）
A B C D
C
解析 因为，，所以,所以，所以
，所以此数列｛a｝中绝对值最小的项是。
填空题
13.执行右边的程序框图，若，则输出的
解析 。
14．（文）利用随机模拟方法计算与围成的面积时,利用计算器产生两组0~1区间的均匀随机数,,然后进行平移与伸缩变换,,试验进行100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，已知最后两次试验的随机数，及，，那么本次模拟得出的面积为
10.72
解析 由，得：，点落在与围成的区域
内，由，得：，点也落在与
围成的区域内，所以本次模拟得出的面积为。
（理）极坐标方程表示的曲线是
一条直线和一个圆
解析 ，
则或。
15．（文）某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为 （制作过程合板损耗和合板厚度忽略不计）。
解析 由三视图知该工作台是棱长为80的正方体上面围上一块矩形和两块直角三角形合板，如右图示，则用去的合板的面积。
（理）如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功 J。
0.18
解析 ，所以，所以。
16．（文）已知满足：，则函数的取值范围是
解析 ，其中。作出可行域得，即，又因为函数在上单调增，所以，所以。
(理) 设，则的最小值为
8
解析 设，由柯西不等式得：
，当且仅当同向时，等号成立。又，所以，所以的最小值为8。
解答题
17．如图，已知点和单位圆上半部分上的动点．
⑴若，求向量；
⑵求的最大值．
解析⑴依题意，，（不含1个或2个端点也对），
，（写出1个即可），
因为，所以，即，解得，
所以；
⑵，
。当时，取得最大值，。
18．（文）在新中国建立的60年，特别是改革开放30年以来，我国的经济快速增长，人民的生活水平稳步提高。某地2006年到2008年每年的用电量与GDP的资料如下：
日 期 2006年 2007年 2008年
用电量（x亿度） 11 13 12
GDP增长率（y（百分数）） 25 30 26
（1）用表中的数据可以求得，试求出y关于x的线性回归方程；
（2）根据以往的统计资料：当地每年的GDP每增长，就会带动1万就业。由于受金融危机的影响，预计2009年的用电量是8亿度，2009年当地新增就业人口是20万，请你估计这些新增就业人口的就业率。
解析 （1）由数据求得，所以．所以y关于x的线性回归方程为；
（2）当时，，所以预测2009年当地的GDP增长，从而可以带动当地的新增就业人口17万，估计这些新增就业人口的就业率。
（理）某单位有8名员工，其中有5名员工曾经参加过一种或几种技能培训，另外3名员工
没有参加过任何技能培训，现要从8名员工中任选3人参加一种新的技能培训。
（I）求恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工的概率；
（II）这次培训结束后，仍然没有参加过任何技能培训的员工人数X是一个随机变量，求X
的分布列和数学期望.
解析（I）恰好选到1名已参加过其他技能培训的员工的概率
（II）随机变量X可能取的值是：0，1，2，3.
；
∴随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3
P
∴X的数学期望。
19．（文）一个多面体的三视图（正前方垂直于平面）及直观图如图所示，M、N分别是A1B、B1C1的中点。
（1）计算多面体的体积；
（2）求证‖平面；
（3）若点是AB的中点，求证AM平面。
解析(1)如右图可知，在这个多面体的直观图中，AA1⊥平面ABC，且AC⊥BC，AC=BC=CC1=，所以；
（2）连，由矩形性质得：AB1与A1B交于点M，在△AB1C1中，由中位线性质得MN//AC1，又因为平面ACC1A1，所以MN‖平面；
（3）在矩形中，，，所以，所以，又因为平面平面，，所以平面，所以，即，又，所以平面，即AM平面。
（理）已知中，，，⊥平面，，、分别是、上的动点，且．
（1）求证不论为何值，总有平面⊥平面；
（2）若平面与平面所成的二面角的大小为，求的值。
解析（1）∵⊥平面，∴，又在中，，∴，又，∴⊥平面，又在中、分别是、上的动点，且，∴，∴⊥平面，又平面，∴不论为何值，总有平面⊥平面；
（2）过点作，∵⊥平面，∴⊥平面，又在中，，∴，如图，以为原点，建立空间直角坐标系．又在中，，，∴。又在中，，∴，则。
∵，∴，∵，∴，
又∵， ，
设是平面的法向量，则，因为，所以，因为=(0,1,0)，所以，令得，，因为 是平面的法向量，且平面与平面所成的二面角为，，∴，∴或（不合题意，舍去），故当平面与平面所成的二面角的大小为时。
20．已知函数有极值．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若在处取得极值，且当时，恒成立，求的取值范围．
解析（Ⅰ）∵，∴， 要使有极值，则方程有两个实数解，从而△＝，∴．
（Ⅱ）∵在处取得极值，∴，∴．
∴，∵，∴当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减．∴时，在处取得最大值， ∵时，恒成立，
∴，即，∴或，即的取值范围是。
21．已知椭圆，的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，圆心在y轴上的圆C2与斜率为的直线切于点B，且AF‖。
（1）求圆的方程及椭圆的离心率。
（2）过P作圆C2的切线PE，PG，若的最小值为，求椭圆的方程。
解析(1)由圆心在y轴上的圆C2与斜率为1的直线切于点B，所以圆心在过B且垂直于的直线上，又圆心在y轴上，则圆心C2（0，3），
圆心到直线的距离，所以所求圆C2方程为：，又AF‖，，所以有，即，椭圆的离心率为；
（2）设
在中， ，由椭圆的几何性质有：
，所以有，因，所以，
所以椭圆的方程为。
22．（文科）（1）若数列是数列的子数列，试判断与的大小关系；
（2）在数列中，已知是一个公差不为零的等差数列，a5=6。
当且
；
②若存在自然数
构成一个等比数列。求证：当a3是整数时，a3必为12的正约数。
解析（1）；
（2）①因为，从而，
，；
②因为，即
，
，
。
因为必为12的正约数。
（理科）已知数列R）对于。
(Ⅰ)当；
(Ⅱ)若，求数列的通项；
(Ⅲ)证明在数列中，存在一项满足≤3。
解析（I），；
当。因此 。
（II），，。
∴猜想对于任意正整数l有（即是周
期为4的数列）。
下面用数学归纳法证明。
（i）时，成立；
（ii）假设当时，成立。
，
，，
，。
由（i）（ii）可知对任意。
同理可证 。
（III）假设对所有的n，，所以数列是首项
为a，公差为－3的等差数列，所以，所以存在充分大的
n，使得，这与假设矛盾，∴假设不成立，∴在数列中，存在一项满足≤3。
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