标准差公式怎么推导的？

Question

如题所述

Answer 1

标准差计算公式是：样本标准差=方差的算术平方根=s=sqrt(((x1-x)²+(x2-x)²+……(xn-x)²)/n)，总体标准差=σ=sqrt(((x1-x)²+(x2-x)²+……(xn-x)²)/n)。

1、标准差概念

标准差是每个数据点与平均值之间差的平方的平均值的算术平方根。标准差越大，数据点相对平均值的偏离程度就越大，反之亦然。标准差可用于测量数据的稳定性和可靠性，以及数据集内部数据的分布情况。

例如，两组数的集合{0、5、9、14}和{5、6、8、9}其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。

2、标准差公式意义

所有数（个数为n）记为一个数组n。将数组的所有数求和后除以n得到算术平均值。数组的所有数分别减去平均值，得到的n个差值分别取平方，再将得到的所有平方数求和，然后除以数的个数或个数减一。

若所求为总体标准差则除以n，若所求为样本标准差则除以(n-1)，最后把得到的商取算术平方根，就是取1/2次方，得到的结果就是这组数(n个数据)的标准差。

标准差的应用

1、标准差可以当作不确定性的一种测量

例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色。

如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解。因此如果测量值都落在一定数值范围之外，那么可以推论预测值是不合理的。

2、标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标

标准差数值越大，代表回报远离过去的回报平均数值，即回报较不稳定，风险越高。相反，标准差数值越小，代表回报较为稳定，风险亦较低。