二次函数的四种解析式如下：
一、常规的抛物线求解方法
二次函数的表达式为y=ax^2+bx+c(a≠0),最常见的也是最容易明白的求解方法，就是题目中告诉抛物线经过三个任意点，这种类型的求解方法是根据抛物线的定义来求解。
把抛物线所经过的三点的横坐标和纵坐标依次带入表达式，组成三个三元一次方程，从而构成三元一次方程组，根据求解方程组的方法求出a,b,c的值。
在中考压轴题中，这种类型比较少，但是对于初步学习二次函数的学生来说，一定要理解这种表达式的求解方法，并且要在计算过程中保证不要算错，因此进行验算非常有必要。
例如已知二次函数经过A（2，-9），B（1，-8），C（-3，16），求函数的表达式。
把这三个点的横坐标和纵坐标依次代入y=ax^2+bx+c,可得4a+2b+c=-9,a+b+c=-8,9a-3b+c=16,通过计算可得a=1,b=-4,c=-5,所求的抛物线解析式为y=x^2-4x-5.
二、根据顶点求解析式
每个抛物线都有一个顶点，而且只有一个。有些题目指出抛物线的顶点，怎么根据顶点来求抛物线表达式呢？
首先要对抛物线基本表达式y=ax^2+bx+c进行分析，这个表达式中，它的顶点坐标是什么？通过化简，可得y=a(x+b/2a)-(b^2-4ac)/4a,通过这个解析式知道它的顶点是[-2a/b,-(b^2-4ac)/4a],在实际解题中。
如果知道某个函数的顶点之后，我们把顶点坐标代入到顶点公式中，比较繁琐，因此可以设函数为y=a(x+h)^2+k,这个函数的顶点是（-h,k）这样可以使这个函数的求解变得简单，只要能够求出二次函数的系数，这个函数的解析式就可以求出。
已知某函数的顶点是A（1,2），它又过点（3,5），求它的解析式
根据顶点是（1,2）可设y=a(x-1)^2+2,再把x=3,y=5代入可得4a+2=5,a=3/4
再把a=3/4代入可以算出y=3/4(x-1)^2+2=3x^2/4-3x/2+11/4
备注：当a>0时，函数顶点处是函数的最低点，具有最小值，而当a<0时，顶点处是最高点，具有最大值。
三、根据与坐标轴交点求解析式
根据函数图像的性质可知，二次函数与x轴的交点有三种可能，分别是无交点，一个交点和两个交点，而题目中大多数情况下是有两个交点，如果知道两个交点的坐标，再知道另一个交点，就可以求出表达式。
在此简单介绍一下，y=ax^2+bx+c,当函数与x轴有两个交点时，可以写成y=a(x-x1)(x-x2),x1,x2是函数与x轴两个交点的横坐标。
还需要注意一点，如果知道任何二次函数与抛物线纵坐标的交点，可以求出表达式中c的值，因为与y轴交点的纵坐标是（0，c），这样可以知道c的值，为求解析式提供方便。
例如已知某函数与x轴两个交点时（1,0），（-3，0），可设此函数的表达式为y=a(x-1)(x+3),
有时候题目中不直接指出具体的坐标值，乃是讲函数与x轴交点在x轴左侧或右侧，如果是左侧，那么坐标轴是负值，如果是右侧，那么坐标轴是正值。
还要注意如果没有直接讲坐标的正与负，乃是指出长度，一定要注意是在原点左边或者右边，如果只是长度，其实乃是指这个点到原点的距离，坐标可正可负。
四、利用面积求表达式
以上三种方法，想必每位学生都能够掌握，而第四种在难题中经常出现，就是利用面积求表达式
利用面积求表达式，题目中告知抛物线顶点和与x轴交点所围成的三角形面积，然后求表达式，或者根据抛物线与y轴的交点和与x轴两个交点，构成的三角形的面积，求表达式。
1、y轴交点与x轴两个交点围成的三角形
这种题目在求解的时候，要注意所围成的三角形的面积是1/2x|c|x(|x1-x2|)，与x轴两个交点的横坐标x1,x2可能是全正，也可能是一正一负，也可能是全负。与y轴的交点也可能在y轴正半轴，也可能在y轴负半轴，视具体情况而定。
例题，已知某抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，C点在y轴正半轴上，S△ABC=6,OA=1,OB=4OA,OC=4OA求此抛物线的表达式。
从题目中看到S△ABC=1/2xOCxAB=1/2x4OAx(4OA-OA)=6OA^2=6,OA=1
因此OC=4,C点在y轴正半轴上，所以C坐标是（0,4）
OB=4OA=4,OA=1,AB=3,所以A(1,0),B(4,0)或A(-1,0),B(-4,0)
这时候可以根据方法三求解出表达式。
2、顶点与x轴两个顶点围成的三角形
这种情况下，要注意函数顶点和x轴所围成的三角形面积，它的求解方法是x轴上两点之间的距离和顶点到x轴距离的乘积的一半。算出两个交点的横坐标，和顶点纵坐标后，再结合图像算出顶点的横坐标，这种题目就迎刃而解，在此不详细讲解。