一元四次方程求根公式和盛金公式的综合

Question

如题所述

Answer 1

在处理一元四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0时，我们可以结合置换群解法和盛金公式，简化求根过程。以下是详细的步骤：

1. 当D=3b^2-8ac=0, E=3b^4+16a^2c^2-16abc+16a^2bd-64a^3e=0, F=b^3-4abc+8a^2d=0时，方程有一个四重根，其值为x1=x2=x3=x4=-b/4a=-2c/3b=-3c/2d=-4e/d。

2. 若A=D^2-3E, B=DE-9F, C=E^2-3DF同时为0，但DEF不为0，有一个三重根，表达式为x1=-b/4a-F/4aD, x2=x3=x4=-b/4a+3F/4aD。

3. 当E=F=0且D不为零，方程有两对重根，解为x1=x2=(-b±√D)/4a, x3=x4=(-b∓√D)/4a。

4. 如果判别式Δ=B^2-4AC=0且A≠0，方程有一对重根，通过X1=-D+B/A, X2=-B/2A计算，具体为x1=(b+X1^(1/2)+2X2^(1/2))/4a, x2=(b+X1^(1/2)-2X2^(1/2))/4a, x3=x4=(b+X1^(1/2))/4a。

5. 当判别式Δ<0，通过T=arccos[(2AD-3B)/2A^(3/2)]，计算y1, y2, y3，然后方程的根为x1=(-b+y1^(1/2)+y2^(1/2)+y3^(1/2))/4a, 等等。

6. 如果Δ>0，则需要计算Y1, Y2, Z1, Z2, Z, W1, W2，最终得到x1=(-b+Z^(1/2)+2W1)/4a, x2=(-b+Z^(1/2)-2W1)/4a, x3=(-b-Z^(1/2)-2W2)/4a, x4=(-b-Z^(1/2)+2W2)/4a。

通过以上步骤，我们可以更有效地求解一元四次方程的根，结合两种方法可以简化求根过程。