如何求函数的导数？

Question

如题所述

Answer 1

要求函数的导数，可以遵循以下步骤：

步骤一：理解导数的定义

导数表示函数的变化率。对于一个函数 f(x)，它在某点 x 处的导数可以表示为 f'(x) 或者 dy/dx。

步骤二：使用极限定义

函数 f(x) 在某点 x 处的导数可以通过极限定义来求得。导数的定义如下：

[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} ]

其中，h 表示自变量 x 的增量。当 h 趋近于 0 时，这个极限值即为函数在点 x 处的导数。

步骤三：使用常见的导数法则

在求导过程中，还可以使用一些导数法则来简化计算，包括：

常数法则：常数的导数为 0。

幂函数的导数：对于 x^n，它的导数为 nx^(n-1)。

和、差的导数：函数的和或差的导数等于各函数分别求导后的和或差。

积的导数：两个函数的乘积的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数再加上第二个函数乘以第一个函数的导数。

商的导数：两个函数的商的导数等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方。

步骤四：应用链式法则和其他高阶导数规则（可选）

如果函数是复合函数，还可以使用链式法则来求导。对于高阶导数（二阶导数、三阶导数等），可以通过多次对函数求导来求得。

步骤五：应用导数的意义

最后，要应用导数的意义对结果进行解释。导数代表了函数的斜率，也可以用来分析函数的极值、凹凸性以及函数在某点的变化趋势。

以上是求函数导数的一般步骤。在实际计算过程中，根据具体函数的性质和复杂程度，可能会应用不同的求导方法。

Answer 2

1. 使用定义法：根据导数的定义，在给定点$x$处求函数$f(x)$的导数，可以使用以下公式：$f'(x) = \lim\limits_{\delta x \to 0} \frac{f(x + \delta x) - f(x)}{\delta x}$。这个方法适用于简单的函数，需要计算极限。

2. 使用求导法则：对于一些常见的函数，存在一些求导法则，可以应用这些法则来求函数的导数。例如，常数函数的导数为0，幂函数的导数等于幂次减1乘以原函数的导数，指数函数的导数等于自然对数底数乘以原函数的导数等等。通过组合这些法则，可以求得复杂函数的导数。

3. 使用链式法则：当函数是由另一个函数通过复合而成时，可以使用链式法则来求导。链式法则表述为：若函数$y=f(g(x))$是由$u=g(x)$和$v=f(u)$复合而成，那么$y$相对于$x$的导数等于$v$相对于$u$的导数乘以$u$相对于$x$的导数，即$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$。

4. 使用隐函数法则：对于一些隐式定义的函数，可以使用隐函数法则来求导。隐函数法则可以用来求解一些无法直接表示为$y=f(x)$形式的函数的导数。

Answer 3

1. 将函数f(x)中的每一项分别求导数，得到每一项的导数。
2. 将每一项的导数相加，得到整个函数的导数。
3. 根据需要，可以继续对求得的导数进行简化。
需要注意的是，求导数的规则包括加法、减法、乘法和除法规则。这些规则可以帮助我们快速求出函数的导数。"

Answer 4

令√（3x＋9）＝u，则：3x＋9＝u^2，∴x＝（1/3）u^2－3，∴dx＝（2/3）udu。
∴∫｛e^［√（3x＋9）］｝dx
＝（2/3）∫u·e^udu
＝（2/3）∫ud（e^u）
＝（2/3）u·e^u－（2/3）∫e^udu
＝（2/3）√（3x＋9）·e^［√（3x＋9）］－（2/3）e^u＋C
＝（2/3）√（3x＋9）·e^［√（3x＋9）］－（2/3）e^［√（3x＋9）］＋C。