已知实n阶矩阵A具有n个两两不同的特征值。f（λ）=|λE-A| 是A的特征多项式。证明：矩阵f（A）=0

Question

大哥，帮我看一个！

Answer 1

证明: 设a1,a2,...,an是A的n个不同的特征值.
则存在可逆矩阵P, 使 P^-1AP=diag(a1,...,an)=B(记为B)
即有 A=PBP^-1.

又 f（λ）=|λE-A|=(λ-a1)(λ-a2)...(λ-an).
所以
f(A)=(A-a1E)(A-a2E)...(A-anE)
=(PBP^-1-a1E)(PBP^-1-a2E)...(PBP^-1-anE)
=P(B-a1E)(B-a2E)...(B-anE)P^-1
=P0P^-1
=0
[注意此处 B-aiE 是对角矩阵, 第i行第i列位置是0, i=1,2,...,n
对角矩阵的乘积是主对角线上对应元素相乘
而B-a1E,B-a2E,...,B-anE分别在a11,a22,...,ann位置为0
故其乘积等于0矩阵]

呵呵 你也没分可加了!来自：求助得到的回答

Answer 2

[证明] 因为n阶矩阵A具有n个两两不同的特征值,
令这些特征值为λ1, λ2, …, λn, 则f(λi) = |λiE - A| = 0, i = 1, 2, …, n.
又因为对应于不同的特征值的特征向量是线性无关的,
所以A具有n个线性无关的特征向量, 令这些特征向量为p1, p2, …, pn.
于是有可逆矩阵P = (p1, p2, …, pn)使得
P^{-1}AP =
[λ1 0 … 0
0 λ2 … 0
... ... ... ...
0 0 ... λn] = D,
而且P^{-1}f(A)P = f(P^{-1}AP) = f(D) =
[f(λ1) 0 … 0
0 f(λ2) … 0
... ... ... ...
0 0 ... f(λn)] = O.
由此可得 f(A) = POP^{-1} = O.

[参考文献] 张小向, 陈建龙, 线性代数学习指导, 科学出版社, 2008.
周建华, 陈建龙, 张小向, 几何与代数, 科学出版社, 2009.

Answer 3

你不采纳我，我也不会，此等问题，无名小辈