求不定积分∫e^(-x^2)dx

Question

如题所述

Answer 1

此题中∫e^(-x^2)dx 是超越积分(不可积积分)，它的原函数是非常规的。结果∫e^(-x^2)dx=1/2 √π erfi(x) + C。

注：其中erfi(x)是引入的函数， 它为 x的（余）误差函数，无法取值 。

基本介绍

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。

比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

Answer 2

∫e^(-x^2)dx=(-1/2)∫de^(-x^2)/x=(-1/2)e^(-x^2)/x -(1/2)∫e^(-x^2)dx/x^2
=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3+(1/4)∫e^(-x^2)d(1/x^3)
=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3-(1/8)e^(-x^2)/x^4+(1/8)∫e^(-x^2)d(1/x^4)
x^2=t ∫e^(-x^2)d(1/x^4)
=∫e^(-t)d(1/t^2)=e^(-t)/t^2+∫e^(-t)dt/t^2=e^(-t)/t^2-e^(-t)/t-∫e^(-t)dt/t
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+..+x^n/n!
e^(-t)=1+(-t)+(-t)^2/2!+(-t)^3/3!+..+(-t)^n/n!
∫e^(-t)dt/t=lnt-t -t^2/(2*2!)-t^3/(3*3!)-..-t^n/(n*n!)
所以
∫e^(-x^2)dx=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3-(1/8)e^(-x^2)/x^4+(1/8)e^(-x^2)/x^4-(1/8)e^(-x^2)/x^2-(1/8)[ln(x^2)-x^2-(x^2)^2/(2*2!)-(x^2)^3/(3*3!)-..-(x^2)^n/(n*n!)]本回答被提问者采纳

Answer 3

设A=∫e^(-x^2)dx ，则有
A^2=∫e^(-x^2)dx ∫e^(-y^2)dy=∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=∫∫e^(-r^2)dxdy（取极坐标r^2=x^2+y^2）
=2π∫e^(-r^2)rdr=π∫e^(-r^2)dr^2=-πe^(-r^2)，
即有A=(√π)e^(-r^2/2)，r的取值参考x的定义域。

Answer 4

求不定积分∫e^(-x^2)dx
解：原式=∫[1-x²+(x^4)/2!-(x^6)/3!+(x^8)/4!-.......]dx
=x-x³/3+(x^5)/(5×2!)-(x^7)/(7×3!)+(x^9)/(9×4!)-........+C

Answer 5

这个不定积分在初等函数里面不存在，也就是用初等函数不能表示。追问

书上也是这么说的，但楼下的方法不是表达出来了吗？

追答

你认为他们的表达是用初等函数吗？
用级数表达是初等函数吗？