平面向量基本定理

Question

在△AOB中,向量OA=a,向量OB=b,设向量AM=2向量MB,向量ON=3向量NA，而OM与BN相交于点P，试用a、b表示向量OP。

Answer 1

向量OP=ON+NP
= ON +mNB(因为向量NP与向量NB共线，所以存在唯一实数m,使得NP =mNB)
=3a/4+m(OB-ON)
=3a/4+m(b-3a/4)
=(3/4-3m/4)a+mb.

另一方面，
因为向量OP与向量OM共线，所以存在唯一实数n,使得OP =nOM,
向量OP =nOM
=n(OA+AM)
= n(OA+2AB/3)
= n(OA+2/3(OB-OA))
= n(1/3OA+2/3OB)
=n/3a+2n/3b.

综上可知：向量OP=(3/4-3m/4)a+mb=n/3a+2n/3b.
所以3/4-3m/4=n/3，m=2n/3，
解得m=3/5,n=9/10.
∴向量OP= n/3a+2n/3b=3/10a+3/5b.

Answer 2

连接AP,可先求AP,然后根据OP=OA+AP,向量两字就不打了
AB=b-a,设MP=xMO,NP=yNB
AP＝AM+MP=2/3(b-a)+x(2a-b)=(2x-2/3)a+(2/3-y)b
AP=AN+NP=1/4(-a)+y(b-3/4a)=-(1/4+3/4y)a+yb
然后使两个式子相等，列两个关于xy的方程组，即可求出x,y,AP也就知道了，那么OP自己算算吧，祝你好运！