抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点及顶点构成直角三角形和等边三角形的条件

Question

如题所述

Answer 1

方法一：
抛物线y=x2+bx+c交x轴于[（-b±√(b²-4c))/2,0]
两交点之间距离=√（b²-4c)
顶点[-b/2,（4c-b²）/4]
构成直角三角形，其实是等腰直角三角形的条件：
,（b²-4c）/4=1/2(√(b²-4c)
√（b²-4c)(√(b²-4c)-2)=0
∵b²-2c＞0
∴√(b²-4c）=2
b²-4c=4
即b²-4c-4=0

构成等边三角形的条件：
,（b²-4c）/4=√3/2(√(b²-4c)
√（b²-4c)(√(b²-4c)-2√3)=0
∵b²-2c＞0
∴√(b²-4c）=2√3
b²-4c=12
即b²-4c-12=0
方法二：
令y=x²＋bx＋c=0，
∴由判别式=b²－4c＞0①，设抛物线与X轴交点分别为A、B，顶点C，
∴A点横坐标为=[－b－√﹙b²－4c﹚]／2，B点横坐标为：[－b＋√﹙b²－4c﹚]／2，顶点C的横坐标=－b／2，纵坐标=﹙4c－b²﹚／4，
∴要构成直角△CAB，由对称性得：CA=CB，
∴只能是等腰直角△，
设对称轴与X轴交点为H点，
∴CH=AH=BH，
CH=﹙b²－4c﹚／4，
AH=－b／2－[－b－√﹙b²－4c﹚／2]=√﹙b²－4c﹚／2，
∴√﹙b²－4c﹚]／2=﹙b²－4c﹚／4，
整理得：b²－4c=4②。
要构成等边△CAB，则CA=CB=AB，∠CAB=60°，
∴由tan60°=CH／AH，
代人整理得：b²－4c=12③.

Answer 2

解：
设y=x²+bx+c与x轴的两个交点为A、B
顶点为C
那么AB=√Δ，作CD⊥x轴于点D
点C到x轴的距离为Δ/4

(1)当△ABC是等腰直角三角形时，AB=2CD
∴√Δ=2Δ/4=Δ/2
∴√Δ=2
∴Δ=4
即b²-4c=4

(2)当△ABC是等边三角形时，CD=√3/2AB
∴Δ/4=√3/2√Δ
∴√Δ=2√3
∴Δ=12
∴b²-4c=12本回答被提问者采纳

Answer 3

抛物线y=x2+bx+c交x轴于[（-b±√(b²-4c))/2,0]
两交点之间距离=√（b²-4c)
顶点[-b/2,（4c-b²）/4]
构成直角三角形，其实是等腰直角三角形的条件：
,（b²-4c）/4=1/2(√(b²-4c)
√（b²-4c)(√(b²-4c)-2)=0
∵b²-2c＞0
∴√(b²-4c）=2
b²-4c=4
即b²-4c-4=0

构成等边三角形的条件：
,（b²-4c）/4=√3/2(√(b²-4c)
√（b²-4c)(√(b²-4c)-2√3)=0
∵b²-2c＞0
∴√(b²-4c）=2√3
b²-4c=12
即b²-4c-12=0

Answer 4

解答：令y=x²＋bx＋c=0，∴由判别式=b²－4c＞0①，设抛物线与X轴交点分别为A、B，顶点C，∴A点横坐标为=[－b－√﹙b²－4c﹚]／2，B点横坐标为：[－b＋√﹙b²－4c﹚]／2，顶点C的横坐标=－b／2，纵坐标=﹙4c－b²﹚／4，∴要构成直角△CAB，由对称性得：CA=CB，∴只能是等腰直角△，设对称轴与X轴交点为H点，∴CH=AH=BH，CH=﹙b²－4c﹚／4，AH=－b／2－[－b－√﹙b²－4c﹚／2]=√﹙b²－4c﹚／2，∴√﹙b²－4c﹚]／2=﹙b²－4c﹚／4，整理得：b²－4c=4②。要构成等边△CAB，则CA=CB=AB，∠CAB=60°，∴由tan60°=CH／AH，代人整理得：b²－4c=12③.

Answer 5

抛物线应该是为y=ax²+bx+c的吧！
二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图像顶点为A，与X轴交点为B,C,则⊿ABC 为等边三角形的条件是△=b -4ac=12
二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图像顶点为A，与X轴交点为B,C,那么⊿ABC 为直角三角形的条件是△=b -4ac=4
具体过程下面参考资料的网址里面有！

参考资料：http://wenku.baidu.com/view/c1a403c689eb172ded63b795.html