3题平面几何
1、已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，使△CDE是等边三角形。如果M是线段AD的中点，N是线段BE 的中点，求证：△CMN是等边三角形。
2、已知△ABC种，∠B=2∠C，BC=2AB，AD是BC边上的中线，求证：△ABD是等边三角形。
3、在正方形ABCD种，E为AB的中点。说明：CE与BF互相垂直于H。
很急。。速度点，谢々
我提高悬赏了。。
过期不愈啊！！！速度点 谢谢
1．∵△ABC和△CDE都是等边三角形（已知）
∴CB=CA ,∠ECD=60°
CE=CD ,∠ACB=60°(等边三角形的性质)
∴∠ECD=∠ACB（等量代换）
∵∠ECD+∠BCD=∠ACB+∠BCD（等式性质）
∴∠ACD=∠BCE
在△ECB和△DCA中，
CE=CD（已证）
∠ACD=∠BCE（已证）
CB=CA（已证）
∴△ECB≌△DCA（S.A.S）
∴AD=BE , ∠CEB=∠CEA（全等三角形的对应边、对应角相等）
∵M是线段AD的中点，N是线段BE的中点（已知）
∴MD=AD÷2 , EN=BE÷2（线段中点的意义）
∴MD=EN
∵∠BCD+∠ACB+∠DCE=180°（平角的意义）
∴∠BCD=60°
∴∠DCE=∠BCD（等量代换）
在△ECN和△DCB中，
MD=EN（已证）
∠DCE=∠BCD（已证）
CE=CE（已证）
∴△ECN≌△DCB（S.A.S）
∴CN=CM , ∠ECN=∠DCM（全等三角形的对应边、对应角相等）
∴∠ECD=∠NCM=60°（等量代换）
∴△CMN是等边三角形（有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形）
2．∵AD是BC边上的中线（已知）
∴BC=2BD , BD=DC（线段中点的意义）
∵BC=2AB（已知）
∴2AB=2BD（等量代换）
∴AB=BD
∴∠B=∠ADB（等边对等角）
∴∠ADB=2∠C（等量代换）
∵∠ADB=∠DAC+∠C（三角形的任何一个外交等于它不相邻的两个内角之和）
∴2∠C=∠DAC+∠C（等量代换）
∴∠C=∠DAC
∴AD=DC（等角对等边）
∴AD=BD（等量代换）
∴△ABD是等边三角形（三边都相等的三角形是等边三角形）
3．∵□ABCD是正方形（已知）
∴AD=AB=CB=CD , ∠DAB=∠CBA=∠DCB=∠ADC=90°（正方形的性质）
∵E是AB的中点（已知）
∴AE=EB（线段中点的意义）
在△DAE和△CBE中，
AD=BC（已证）
∠DAB=∠EBC（已证）
AE=BE（已证）
∴△DAE≌△CBE（S.A.S）
∴∠ADE=∠BCE（全等三角形的对应角相等）
在△ADC和△ABC中，
AD=AB（已证）
∠ADB=∠ABC（已证）
CB=CD（已证）
∴△ADC≌△ABC（S.A.S）
∴∠DAC=∠BAC（全等三角形的对应角）
在△AFD和△AFB中，
AD=AB（已证）
∠DAC=∠BAC（已证）
AF=AF（公共边）
∴△AFD≌△AFB（S.A.S）
∴∠ADE=∠ABF（全等三角形的对应角相等）
∴∠ADE=∠ABF=∠BCE（等量代换）
∵∠ABF+∠CBF=90°
∴∠BCE+∠CBF=90°（等量代换）
∵∠CHB+∠BCE+∠CBF=90°（三角形内角和180°）
∴∠CHB=90°
∴CE⊥BF（垂直的意义）
∴CB=CA ,∠ECD=60°
CE=CD ,∠ACB=60°(等边三角形的性质)
∴∠ECD=∠ACB（等量代换）
∵∠ECD+∠BCD=∠ACB+∠BCD（等式性质）
∴∠ACD=∠BCE
在△ECB和△DCA中，
CE=CD（已证）
∠ACD=∠BCE（已证）
CB=CA（已证）
∴△ECB≌△DCA（S.A.S）
∴AD=BE , ∠CEB=∠CEA（全等三角形的对应边、对应角相等）
∵M是线段AD的中点，N是线段BE的中点（已知）
∴MD=AD÷2 , EN=BE÷2（线段中点的意义）
∴MD=EN
∵∠BCD+∠ACB+∠DCE=180°（平角的意义）
∴∠BCD=60°
∴∠DCE=∠BCD（等量代换）
在△ECN和△DCB中，
MD=EN（已证）
∠DCE=∠BCD（已证）
CE=CE（已证）
∴△ECN≌△DCB（S.A.S）
∴CN=CM , ∠ECN=∠DCM（全等三角形的对应边、对应角相等）
∴∠ECD=∠NCM=60°（等量代换）
∴△CMN是等边三角形（有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形）
2．∵AD是BC边上的中线（已知）
∴BC=2BD , BD=DC（线段中点的意义）
∵BC=2AB（已知）
∴2AB=2BD（等量代换）
∴AB=BD
∴∠B=∠ADB（等边对等角）
∴∠ADB=2∠C（等量代换）
∵∠ADB=∠DAC+∠C（三角形的任何一个外交等于它不相邻的两个内角之和）
∴2∠C=∠DAC+∠C（等量代换）
∴∠C=∠DAC
∴AD=DC（等角对等边）
∴AD=BD（等量代换）
∴△ABD是等边三角形（三边都相等的三角形是等边三角形）
3．∵□ABCD是正方形（已知）
∴AD=AB=CB=CD , ∠DAB=∠CBA=∠DCB=∠ADC=90°（正方形的性质）
∵E是AB的中点（已知）
∴AE=EB（线段中点的意义）
在△DAE和△CBE中，
AD=BC（已证）
∠DAB=∠EBC（已证）
AE=BE（已证）
∴△DAE≌△CBE（S.A.S）
∴∠ADE=∠BCE（全等三角形的对应角相等）
在△ADC和△ABC中，
AD=AB（已证）
∠ADB=∠ABC（已证）
CB=CD（已证）
∴△ADC≌△ABC（S.A.S）
∴∠DAC=∠BAC（全等三角形的对应角）
在△AFD和△AFB中，
AD=AB（已证）
∠DAC=∠BAC（已证）
AF=AF（公共边）
∴△AFD≌△AFB（S.A.S）
∴∠ADE=∠ABF（全等三角形的对应角相等）
∴∠ADE=∠ABF=∠BCE（等量代换）
∵∠ABF+∠CBF=90°
∴∠BCE+∠CBF=90°（等量代换）
∵∠CHB+∠BCE+∠CBF=90°（三角形内角和180°）
∴∠CHB=90°
∴CE⊥BF（垂直的意义）
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2011-06-06
都到这份上了，不要再想了，好好调节自己把！！！！高考加油！
第2个回答 2011-06-07
这应该是初中数学题吧 用到的都是全等~
1、因为CE = CD ∠ECB = ∠DCA = 120 CB = CA 所以 △ECB 和 △DCA 全等 所以AD = BE ∠CEB = ∠CEA 又因为两个中点 所以 EN = MD ，再由CE = CD得到△ECN和△DCM全等 得到CN = CM ∠ECN = ∠DCM 所以∠NCM = ∠ECD = 60 所以△CMN 是等边三角形（其实所要求证明的结论可以很容易地看出△ECN和△DCM相等）
2、过B做BE垂直AD于E，过D做DF垂直AC于F，因为AB = BD = 1/2BC，所以DE = 1/2AD，∠DBE = 1/2∠DBA = ∠C，再由BD = DC ∠BED = ∠DFC = 90得到 △BED和△DFC 全等，得到DF = DE =1/2AD 且∠BDE = ∠CDF，又因为∠DFA = 90 DF = 1/2AD 得∠ADF = 60 所以∠BDE = ∠CDF = 60 再由BD = AB 得到 △ABD是等边三角形。
3、由D、B关于AC对称得到△ADF 和 △ABF 全等，所以∠ABF = ∠ADF = ∠ECB，所以∠ECB + ∠CBH = ∠CBE = 90即CE与BF互相垂直于H
1、因为CE = CD ∠ECB = ∠DCA = 120 CB = CA 所以 △ECB 和 △DCA 全等 所以AD = BE ∠CEB = ∠CEA 又因为两个中点 所以 EN = MD ，再由CE = CD得到△ECN和△DCM全等 得到CN = CM ∠ECN = ∠DCM 所以∠NCM = ∠ECD = 60 所以△CMN 是等边三角形（其实所要求证明的结论可以很容易地看出△ECN和△DCM相等）
2、过B做BE垂直AD于E，过D做DF垂直AC于F，因为AB = BD = 1/2BC，所以DE = 1/2AD，∠DBE = 1/2∠DBA = ∠C，再由BD = DC ∠BED = ∠DFC = 90得到 △BED和△DFC 全等，得到DF = DE =1/2AD 且∠BDE = ∠CDF，又因为∠DFA = 90 DF = 1/2AD 得∠ADF = 60 所以∠BDE = ∠CDF = 60 再由BD = AB 得到 △ABD是等边三角形。
3、由D、B关于AC对称得到△ADF 和 △ABF 全等，所以∠ABF = ∠ADF = ∠ECB，所以∠ECB + ∠CBH = ∠CBE = 90即CE与BF互相垂直于H
第3个回答 2011-06-13
1、因为CE = CD ∠ECB = ∠DCA = 120 CB = CA 所以 △ECB 和 △DCA 全等 所以AD = BE ∠CEB = ∠CEA 又因为两个中点 所以 EN = MD ，再由CE = CD得到△ECN和△DCM全等 得到CN = CM ∠ECN = ∠DCM 所以∠NCM = ∠ECD = 60 所以△CMN 是等边三角形（其实所要求证明的结论可以很容易地看出△ECN和△DCM相等）
2、过B做BE垂直AD于E，过D做DF垂直AC于F，因为AB = BD = 1/2BC，所以DE = 1/2AD，∠DBE = 1/2∠DBA = ∠C，再由BD = DC ∠BED = ∠DFC = 90得到 △BED和△DFC 全等，得到DF = DE =1/2AD 且∠BDE = ∠CDF，又因为∠DFA = 90 DF = 1/2AD 得∠ADF = 60 所以∠BDE = ∠CDF = 60 再由BD = AB 得到 △ABD是等边三角形。
3、由D、B关于AC对称得到△ADF 和 △ABF 全等，所以∠ABF = ∠ADF = ∠ECB，所以∠ECB + ∠CBH = ∠CBE = 90即CE与BF互相垂直于H
2、过B做BE垂直AD于E，过D做DF垂直AC于F，因为AB = BD = 1/2BC，所以DE = 1/2AD，∠DBE = 1/2∠DBA = ∠C，再由BD = DC ∠BED = ∠DFC = 90得到 △BED和△DFC 全等，得到DF = DE =1/2AD 且∠BDE = ∠CDF，又因为∠DFA = 90 DF = 1/2AD 得∠ADF = 60 所以∠BDE = ∠CDF = 60 再由BD = AB 得到 △ABD是等边三角形。
3、由D、B关于AC对称得到△ADF 和 △ABF 全等，所以∠ABF = ∠ADF = ∠ECB，所以∠ECB + ∠CBH = ∠CBE = 90即CE与BF互相垂直于H
第4个回答 2011-06-14
其实找好边角关系挺容易的~
1、因为CE = CD ∠ECB = ∠DCA = 120 CB = CA 所以 △ECB 和 △DCA 全等 所以AD = BE ∠CEB = ∠CEA 又因为两个中点 所以 EN = MD ，再由CE = CD得到△ECN和△DCM全等 得到CN = CM ∠ECN = ∠DCM 所以∠NCM = ∠ECD = 60 所以△CMN 是等边三角形（其实所要求证明的结论可以很容易地看出△ECN和△DCM相等）
2、过B做BE垂直AD于E，过D做DF垂直AC于F，因为AB = BD = 1/2BC，所以DE = 1/2AD，∠DBE = 1/2∠DBA = ∠C，再由BD = DC ∠BED = ∠DFC = 90得到 △BED和△DFC 全等，得到DF = DE =1/2AD 且∠BDE = ∠CDF，又因为∠DFA = 90 DF = 1/2AD 得∠ADF = 60 所以∠BDE = ∠CDF = 60 再由BD = AB 得到 △ABD是等边三角形。
3、由D、B关于AC对称得到△ADF 和 △ABF 全等，所以∠ABF = ∠ADF = ∠ECB，所以∠ECB + ∠CBH = ∠CBE = 90即CE与BF互相垂直于H
1、因为CE = CD ∠ECB = ∠DCA = 120 CB = CA 所以 △ECB 和 △DCA 全等 所以AD = BE ∠CEB = ∠CEA 又因为两个中点 所以 EN = MD ，再由CE = CD得到△ECN和△DCM全等 得到CN = CM ∠ECN = ∠DCM 所以∠NCM = ∠ECD = 60 所以△CMN 是等边三角形（其实所要求证明的结论可以很容易地看出△ECN和△DCM相等）
2、过B做BE垂直AD于E，过D做DF垂直AC于F，因为AB = BD = 1/2BC，所以DE = 1/2AD，∠DBE = 1/2∠DBA = ∠C，再由BD = DC ∠BED = ∠DFC = 90得到 △BED和△DFC 全等，得到DF = DE =1/2AD 且∠BDE = ∠CDF，又因为∠DFA = 90 DF = 1/2AD 得∠ADF = 60 所以∠BDE = ∠CDF = 60 再由BD = AB 得到 △ABD是等边三角形。
3、由D、B关于AC对称得到△ADF 和 △ABF 全等，所以∠ABF = ∠ADF = ∠ECB，所以∠ECB + ∠CBH = ∠CBE = 90即CE与BF互相垂直于H