关于二重积分的计算∫∫Ddxdy/(x-y)^2，其中D：x的范围是[1,2]，y的范围是[3,4]，这个怎么算呢？

Question

在线求详细计算过程

Answer 1

我按照你的思路做一遍，不难的，过程见插图。

追问

这次过程真清晰，非常感谢。

Answer 2

∫[1,2]∫[3,4]dxdy/(x-y)^2
=-∫[1,2]1/(x-y)[3,4]dx
=-∫[1,2][1/(x-4)-1/(x-3)]dx
=ln[(x-3)/(x-4)][1,2]
=-ln2-ln(2/3)
=ln3追问

我怎么觉得好像有点问题呀
应该是ln(4/3）吧

追答

噢，那用换元吧，可能是错误的。
令x-y=t,y=x-t,dy=-dt,y=3,t=x-3,y=4,t=x-4
∫[1,2]∫[3,4]dxdy/(x-y)^2
=-∫[1,2]∫[x-3,x-4]dxdt/(t^2)
=∫[1,2]1/t[x-3,x-4]dx
=∫[1,2][1/(x-4)1-1/(x-3)]dx

和上面一样的吧？

追问

∫[3,4]dy∫[1,2]dx/(x-y)^2
=∫[3,4]1/(x-y)[1,2]dy
=∫[3,4][1/(2-y)-1/(1-y)]dy
=ln[(2-y)/(1-y)][3,4]
=-ln(2/3)-ln(1/2)
=ln(4/3)
那我这样做有错误吗？

追答

这样做方法没错啊，我不知道什么地方把数值算错误了。
你计算的中，有个地方错误了。
1/(x-y)^2=-(1/x)'

追问

没太明白，可能我正好凑着答案了吧，积分这个地方不太会求，不过谢谢你

追答

我的答案也可能是错误的。这个题目很绕人