找次品数学问题

Question

有101枚硬币，其中100枚质量相同，另一枚是假币。现在不知道假币比真币重还是轻？
1.利用天平，至少称几次就可以判断假币比真币重还是轻？说说你的看法？

2.在上题的基础上，至少再称几次就能找出那枚假币？

Answer 1

将101枚硬币分成3堆，即33，33，35．
1．至少称2次就可以判断假币比真币重还是轻。
　　当两堆33枚硬币不等时，说明35枚堆的硬币是真币。
　　用甲堆的22枚硬币加乙堆的11枚硬币与已确定的33真币称。
　　如果不等时，真币一侧重，假币轻；真币一侧轻，假币重。
2．在上题的基础上，至少再称2次就能找出那枚假币。
　　第一次称的结果：如果甲堆重
　　第二次称的结果：如果真币重，说明假币轻。
　　根据两次称的结果，确认假币在乙堆的11枚硬币中。
　　第三次称：取乙堆中的6枚硬币，放在天平两边。如果左侧3枚硬币轻，假币在其中。
　　第四次称：取左侧2枚硬币，再放在天平两边。
　　　　　　　当天平平衡，假币是不在天平上的那枚硬币；
　　　　　　　当天平左侧轻，假币是天平左侧的那枚硬币；
　　　　　　　当天平右侧轻，假币是天平右侧的那枚硬币。
在全部情况下，称6次可判定出那枚假币。
补充：（供参考）
次品问题：　
　　N个元件中只有1个是次品，它的重量有超差，用无砝码的天平，需要称M(或m)次可辨出该次品元件。
一般称量对策：
　　天平有三种状态，即平衡（＝），右盘重（↑）或右盘轻（↓）。将N个元件分为三堆（A，B，C），每堆对应天平一种状态。当知道次品超重方向即知轻重，每称一次，可将范围缩小到三分之一。 当不知道超重方向，需多称一次，元件数量可略增加。
不知轻重称法：当N较大时，用天平称三次，范围可缩小到十分之一，且知轻重。
　　第一次　　　　第二次　　　　第三次　　　　　结果　　　　　　　　说明
　　A＝B 　　　　A＝C　　　　Aa≠Cd↑(或Cd↓)　　Cd　　　　　　　A,B,Cabc=3n
（次品在C)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知道次品在C且知轻重
　　　　　　　　A≠C↑(或C↓）　　Ca＝C　　　　　Cc　　　　　　　Cd=N-9n
　　　　　　　　　　　　　　　　Ca≠Cb↑　　　　Cb　　　　　　知道次品在C且知重
　　　　　　　　　　　　　　　　Ca≠Cb↓　　　　Ca Aa,Ab,Ac=n
　　A≠B　　　　AaAb+Ba＝C　　Bb＝Bc　　　　　Ac　　　　　　知道次品在A且知轻
(次品在A或B）　　　　　　　　　Bb≠Bc↑　　　　　Bc　　　　　　知道次品在B且知重
　　　　　　　　　　　　　　　　Bb≠Bc↓　　　　Bb　　　　　　　Ca,Cb,Cc=n
　　　　　　　　AaAb+Ba≠C↑　　Aa＝Ab　　　　Ba　　　　　　　知道次品在B且知轻
　　　　　　　　（或C↓　略）　　Aa≠Ab↑　　　　Aa　　　　　　知道次品在A且知轻
　　　　　　　　　　　　　　　　Aa≠Ab↓　　　　Ab　　　　　　　Ba,Bb,Bc=n
注：n＝M/10。当M/10不为整数时，采用进一法取整数值n。分三堆，A＝3n,B＝3n,C＝N-6n　　（其中Ca,b,c＝n,Cd＝N-9n)。
知轻重称法：
　　以上三次操作后，确定出次品范围n，且知道次品比正品重或轻。根据下表，在“知轻重”栏中找N'≥n的最接近值，确定m值。
称次数　　　　　　　　　　知轻重　　　　　　　　　　　不知轻重
m　M　　　　　　　　　　N' 　　　　　　　　　　　　　N
5　　　　　　　　　　　　243 　　　　　　　　90
4　　　　　　　　　　　　81　　　　　　　　　　　　30
3　　　　　　　　　　　　27　　　　　　　　　　　　11
2　　　　　　　　　　　　9　　　　　　　　　　　　　4
1　　　　　　　　　　　　3 　　　　　　　　　　　　　不可能
注：
　　m为“知轻重”对应的称量次数，M为“不知轻重”对应的称量次数。式　10*3M-3 （当M大于3时适用）。N（或N'）为可到达的最大数值。
总称次数：M＝m＋3K（当“不知轻重”时　K＝1，否则　K＝0)。
例1： 当“知轻重”时（如次品超重），N'＝9　，m ＝2。
第一次　　　　　第二次　　　　　　次品　　　　　　说明
A＝B　　　　　　Ca＝Cb　　　　　Cc 　　　　　　A(Aa,Ab,Ac＝1)
（次品在C）　　　Ca≠Cb↑　　　　Cb　　　　　　　B(Ba,Bb,Bc＝1)
　　　　　　　　Ca≠Cb↓　　　　　Ca 　　　　　　C(Ca,Cb,Cc＝1)
A≠B↑ 　　　　　　Ba＝Bb　　　　　Bc
（次品在B）　　　Ba≠Bb↑　　　　　Bb
　　　　　　　　　Ba≠Bb↓　　　　　Ba
A≠B↓ 　　　　　　Aa＝Ab　　　　　Ac
（次品在A）　　　Aa≠Ab↑　　　　　Ab
　　　　　　　　　Aa≠Ab↓　　　　　Aa
当“不知轻重”时，要增加一次称量，M＝3，N＝11。见下表。
第一次　　　　第二次　　　　第三次　　　　次品　　　　　　　说明
A＝B　　　　　A＝C　　　　Aa＝Cd　　　　Ce 　　　　　　次品辨出但不知轻重
（次品在C）　　　　　　　　Aa≠Cd↑　　　　Cd　　　　　　以下知次品且知轻重
　　　　　　　　　　　　　(或Aa≠Cd↓)　　　　　　　　　　　　A,B,C=3
　　　　　　　A≠C↑　　　　 Ca＝Cb　　　　Cc　　　　　　　　Cd,Ce＝1
　　　　（或C↓　略）　　　　Ca≠Cb↑ 　　　Cb 　　　　　　　　A(Aa,Ab,Ac＝1)
　　　　　　　　　　　　　　Ca≠Cb↓　　　　Ca　　　　　　　　B(Ba,Bb,Bc＝1)
A≠B↑　　　AaAb+Ba＝C　　　Bb＝Bc　　　　Ac 　　　　　　　　C(Ca,Cb,Cc＝1)
（C为正品）　　　　　　　　　Bb≠Bc↑　　　　Bc
　　　　　　　　　　　　　　　Bb≠Bc↓　　　Bb
　　　　　　AaAb+Ba≠C↑　　　Aa＝Ab　　　Ba
　　　　　（或C↓　略）　　　　Aa≠Ab↑　　　Aa
　　　　　　　　　　　　　　　Aa≠Ab↓　　　Ab
例2：
　　当“知轻重”时，N'＝81　，m ＝4。
　　当“不知轻重”时，要增加一次称量，M＝5，N＝90。
例3：
　　当“不知轻重”时，如果　N＝101，则n＝11，取m＝3，且K＝1，
　　因此至少需要M＝m＋3K＝6次，可分辨出次品元件。

Answer 2

1,
101枚分4组,A:33枚,B33,C33,D2;
天平两边放A-B,如果平衡,假的在C,D;将B取下,换C,A-C,如果平衡,假的在D,ABC任意取2枚,与D称,如果D重,假的重,反之亦然;这样就知道D中假的轻重,将D中2枚放天平两边就能够找出假的;

天平两边放A-B,如果平衡,假的在C,D;将B取下,换C,A-C,如果不平衡,假的在C,如果C重,假的重;C轻,假的轻;

天平两边放A-B,如果不平衡,假的在A,B,记住此时天平的状态,比如A重;将B取下,换C,A-C,如果平衡,假的在B,且假的轻;否则在A,假的重;

2,
假如假的在D组,步骤1已经知道D中假的轻重,将D中2枚放天平两边就能够找出假的;

假如假的在A,且重(轻的情况同理),33枚分3组,E11,F11,G11;
E-F如果平衡,假的在G;E-F如果不平衡,比如F重,假的在F组,接a步);

a步):G(或F),11枚分3组,H4,J4,K3,H-J如果平衡,假的在K3;接b步); 如果不平衡,比如J重,假的在J组,接c步);

b步):3枚分3组,W1,X1,Y1;
W-X如果平衡,假的是Y1;如果不平衡,比如X重,假的是X;

c步):4枚分2组,M2,N2;
M-N不平衡,比如M重,假的在M;M在天平分别放1枚,重的就是假的

顶顶顶顶顶顶顶顶

Answer 3

1,
101枚分4组,A:33枚,B33,C33,D2;
天平两边放A-B,如果平衡,假的在C,D;将B取下,换C,A-C,如果平衡,假的在D,ABC任意取2枚,与D称,如果D重,假的重,反之亦然;这样就知道D中假的轻重,将D中2枚放天平两边就能够找出假的;

天平两边放A-B,如果平衡,假的在C,D;将B取下,换C,A-C,如果不平衡,假的在C,如果C重,假的重;C轻,假的轻;

天平两边放A-B,如果不平衡,假的在A,B,记住此时天平的状态,比如A重;将B取下,换C,A-C,如果平衡,假的在B,且假的轻;否则在A,假的重;

2,
假如假的在D组,步骤1已经知道D中假的轻重,将D中2枚放天平两边就能够找出假的;

假如假的在A,且重(轻的情况同理),33枚分3组,E11,F11,G11;
E-F如果平衡,假的在G;E-F如果不平衡,比如F重,假的在F组,接a步);

a步):G(或F),11枚分3组,H4,J4,K3,H-J如果平衡,假的在K3;接b步); 如果不平衡,比如J重,假的在J组,接c步);

b步):3枚分3组,W1,X1,Y1;
W-X如果平衡,假的是Y1;如果不平衡,比如X重,假的是X;

c步):4枚分2组,M2,N2;
M-N不平衡,比如M重,假的在M;M在天平分别放1枚,重的就是假的;

Answer 4

3次，分成3
3
3
1，任意两份3拿出来称，相不相同都跟剩下的一个3称，就可以判断出次品的轻重了，如果2次都相同次品就是剩下的1个了，就把有问题的那3袋白糖任意拿2袋，一样则是剩下那个，不一样的话因为轻重已经判断出来了，也可以立刻知道次品是哪一袋～希望采纳。

Answer 5

我觉得两次或三次！第一次55分开，轻的一边有次品、第二次把有次品的提出一带，其余22分，平衡则提出的是次品，若不平衡轻的两带含次品，便最多三次搞定！