如何求特征值，λE-A的行列式有什么计算技巧？

Question

例如行列式λ-2 2 0
2 λ-1 2
0 2 λ 如何计算出λ

Answer 1

考试一般考察的就是给出三阶矩阵，求其特征值λ。按照教材中的知识脉络求解的方法一般有

直接依据对角线法则，三阶行列式展开共有9项λ多项式的和，问题就转化为一元三次多项式求根的问题。化简之后求根的步骤一般可以借助提公因式求根；公因式不容易看出来的话，这个时候就可以试根（比如det(λE-A)=0的所有可能的有理根是常数项的因子，你可以尝试代入一个计算该多项式是否为0，这个过程算得很快的，找到一个根的话问题然后就转化为就是一元二次方程求根了，这个就so easy了）

依据行列式性质，三条性质只用到

某行或某列提出常数公因子

某行或某列的k倍加到另一行或另一列。

如果能换成上下三角行列式那就很好算了--行列式的值直接就是对角元相乘。我们的目的是得到好多的零！

3. 按照某行或者某列展开。可以直接不用化简，直接算三个二阶行列式。

重点是第一条中得到多项式然后求根的问题，第一条对角线法则是通用的，就是写出来的项数最多，化简要细心。推荐搭配行列式的性质多多划出好多零，那就容易多啦。

特别提醒：试根的时候，det(λE-A)=0的所有可能的有理根是常数项的因子。注意是有理根哦。对于本科来说A都是定义在R上的，所以这个试根的方法就很有用。

以上

（我发现没有小伙伴来说过这个定理哈哈哈，看来没有学过高等代数的大佬来回答啊。）

Answer 2

因为因式分解是个难题, 所以一般要避免把行列式完全展开
方法就是在利用行列式的性质计算行列式的过程中尽量能提出λ-k因子

r1-(1/2)(λ -2)r2 - r3
0 (-1/2)(λ -1)(λ -2) -2(λ -1)
2 λ-1 2
0 2 λ

第1行提出 (λ-1) ,
再按第1列展开,
最后用一次十字相乘法分解2次多项式
这样就自然了.追问

问题是你怎么会想到r1-(1/2)(λ -2)r2 - r3呢？

追答

这是试着按第1列展开得到的结果
先消 a11 之后发现把第3行减上去 就凑出了因子

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Answer 3

Answer 4

一般行列式 不都是三阶的吗？用对角线法则应该会快一点吧追问

例如行列式λ-2 2 0
2 λ-1 2
0 2 λ 如何计算出λ

追答

令|λE-A|=0 即（λ-2）（λ-1）λ-4（λ-2）-4λ=0 解得λ=1，-2,4