(1+ x)^(1/ x)当x趋向于0时的极限是多少？

Question

如题所述

Answer 1

要求解极限 (1 + x)^(1/x) 当 x 趋近于 0 时的值，我们可以使用数学中的极限性质以及一些数学工具来证明。
首先，我们将问题转化为指数的形式。将 (1 + x)^(1/x) 改写为 e 的某个指数次幂：
(1 + x)^(1/x) = e^(ln((1 + x)^(1/x)))
接下来，我们用极限性质对指数函数的底数 e 进行处理。根据极限的定义，当 x 趋近于 0 时，(1 + x) 也趋近于 1，因此 ln(1 + x) 当 x 趋近于 0 时也趋近于 0。
利用极限性质 lim(x→0) ln(1 + x) = 0，我们可以得到：
lim(x→0) e^(ln((1 + x)^(1/x))) = e^(lim(x→0) ln((1 + x)^(1/x)))
接下来，我们需要处理指数中的 (1 + x)^(1/x) 部分。我们可以使用极限的性质来处理它。
令 t = 1/x，当 x 趋近于 0 时，t 趋近于正无穷。则原极限可以改写为：
lim(t→∞) e^(ln((1 + 1/t)^t))
继续利用极限性质，我们有：
lim(t→∞) (1 + 1/t)^t = e
因此，原极限可以进一步简化为：
lim(t→∞) e^(ln((1 + 1/t)^t)) = e^ln(e) = e^1 = e
所以，当 x 趋近于 0 时，(1 + x)^(1/x) 的极限值是 e。