如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，m），A（n，m），且（m-4） 2 +n 2 -8

Question

如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，m），A（n，m），且（m-4） 2 +n 2 -8n＝-16，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点. （1）求A点的坐标（3分）；（2）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE（4分）（3）如图（2），若∠ECF＝45°，给出两个结论：?OF+AE-EF的值不变；?OF+AE+EF的值不变，其中有且只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值（5分）.

Answer 1

（1）（4，4）；（2）证明见解析；（3）OF+AE-EF值不变，且OF+AE-EF=0.

试题分析：（1）可将（m-4） 2 +n 2 -8n＝-16，通过移项、因式分解变形为：（m-4） 2 +（n-4） 2 =0.结合图象可知m、n都大于0，由此可得m=n=4. （2）因为OF+BE＝AB，所以OF＝AE，由（1）易得四边形COAB是正方形；所以由SAS得△ACE≌△OCF，从而可证CF＝CE. （3）因为AC=OC，可想到绕点C将△ACE顺时针旋转90 0, 到△OCH位置，如图，可证△HCF≌△ECF得HF=EF，而HF=AE+OF，所以OF+AE-EF=0. 试题解析： 解：（1）∵（m-4） 2 +n 2 -8n＝-16， ∴（m-4） 2 +（n-4） 2 =0. ∴m＝4，n＝4. 证明：∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，A（4，4）， ∴AB＝AC＝OC＝OB， ∠ACO＝∠COB＝∠ABO＝90°， ∴四边形COAB是正方形 ∴∠A＝90° ∵OF+BE＝AB＝BE+AE ∴AE＝OF， ∴△COF≌△CAE ∴CF＝CE. （3）OF+AE-EF值不变，且OF+AE-EF=0.如图， 证明：在x轴负半轴上取点H，使OH＝AE， ∵CO=CA ∠COH=∠CAE ∴△ACE≌△OCH ∴∠1＝∠2 CH＝CE，AE=OH 又∵∠EOF＝45° ∴∠HCF＝45° ∴△HCF≌△ECF ∴HF＝EF ∴OF+AE=OF+OH=HF=EF 即OF+AE-EF=0.