高数，微分中值定理与导数的应用，5.2.3题

Question

如题所述

Answer 1

5、恰好有3个实根

f(x)为x的四次函数
则，f'’(x)为x的二次函数
所以，方程f'‘(x)＝0至多有2个实根

又f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝0
由罗尔定理可得
存在a∈(1，2)，b∈(2，3)，c∈(3，4)
使得，f'(a)＝f'(b)＝f'(c)＝0
由罗尔定理可得，f''(x)区间(a，b)和(b，c)上，各至少有一个零点
即，方程f'‘(x)＝0至少有2个实根

综上可得，f''(x)＝0恰好有2个实根

2、C

A、错误，f(x)只有一个零点不代表f(x)单调，则f'(x)可能有零点
B、错误，与A类似，f(x)可能没有零点，类似坐标轴上方或下方的波浪形状
C、正确，f'(x)没有零点，表示f(x)单调，则f(x)至多有一个零点
D、错误，与A、B类似，f'(x)可以有1个以上的零点

3、C

C是正确的，由连续的定义可得

f(x)的导数不一定存在，排除B、D

f(x)连续的区间为(a，b)，是开区间
则，在端点不一定连续
所以，f(a)f(b)<0也不能保证f(x)有零点