如果一个函数连续，怎么用数学过程证明它的绝对值函数也连续?

Question

如题所述

Answer 1

如果这个函数没有根，那么绝对值函数为它本身，或者添一负号，一定连续；
所以只需要考虑这个函数在经过x轴时的情况。
不妨设f(x)的一个根为x0，且f(x)在邻域内连续(x0-a,x0+a)，且f(x0-a)*f(x0+a)<0
只需要证明|f(x)|在(x0-a,x0+a)连续。
回顾连续的定义：如果函数f(x)在x0处连续，即limf(x)在x→x0时极限为f(x0)。
即任意ε>0，存在(x0-b,x0+b)⊂(x0-a,x0+a)使得该区间内|f(x)-f(x0)|<ε.即|f(x)|<ε
故||f(x)|-f(x0)|=|f(x)|<ε。
即任意ε>0，存在(x0-b,x0+b)⊂(x0-a,x0+a)使得该区间内||f(x)|-f(x0)|<ε.即|f(x)|在x0附近连续。

Answer 2

用连续的定义直接证明。