（2013?徐汇区一模）“数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的2

Question

（2013?徐汇区一模）“数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的2倍的三角形）进行研究．得出结论：如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，如果∠A=2∠B，那么a2-b2=bc．下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明方法．已知：如图2，在△ABC中，∠A=90°，∠B=45°．求证：a2-b2=bc．证明：如图2，延长CA到D，使得AD=AB．∴∠D=∠ABD，∵∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，∠CAB=90°∴∠D=45°，∵∠ABC=45°，∴∠D=∠ABC，又∠C=∠C∴△ABC∽△BCD∴BCCD＝ACBC，即ab+c＝ba∴a2-b2=bc根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明（用不同于材料中的方法也可以）：已知：如图1，在△ABC中，∠A=2∠B．求证：a2-b2=bc．

Answer 1

证明：延长CA到D，使得AD=AB，连接BD．
∴∠D=∠ABD，
∵∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，
∵∠CAB=2∠ABC，
∴∠D=∠ABC，又∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴

BC

CD

＝

AC

BC

，即

a

b+c

＝

b

a

，
∴a²-b²=bc．