已知p三次方+q三次方=2，其中p，q是实数，则p+q的最大值

Question

如题所述

Answer 1

(p+q)^3=p^3+q^3+3p²q+3pq²=p^3+q^3+3pq(p+q)
因为(p+q)²=p²+q²+2pq>=4pq
pq<=(p+q)²/4
所以(p+q)^3<=p^3+q^3+3*(p+q)*(p+q)²/4
移项(p+q)^3/4<=p^3+q^3=2
故(p+q)^3<=8
则p+q的最大值为2

Answer 2

p+q=（p³+q³）/（p²-pq+q²）=2/（p²-pq+1/4q²+3/4q²）=2/[(p-1/2q)²+3/4q
²],分析分母，可知分母有最小值，就是当p=1/2q时，分母为3/4q²，将p=1/2q代入p³+q³=2可得，1/8q³+q³=9/8q³=2，q³=16/9则q=4/3，p=1/2q=2/3，此时p+q=2

Answer 3

最大值是2

Answer 4

若p+q>2,则p>2-q,
由于x^3是r上的增函数，
∴p^3>(2-q)^3=8-12q+6q^2-q^3,
∴p^3+q^3>6(q-1)^2+2>=2,矛盾。
∴p+q<=2.