在锐角三角形ABC中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且tanA

Question

在锐角三角形ABC中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且tanA-tanB=√3/3(1+tanA·tanB),求（1）若c^2=a^2+b^2-ab,求A、B、C的大小

Answer 1

(一)由向量a和b共线可知:2sinbcosb-根号3cos2b=0
根据二倍角公式可变形为:sin2b-根号3cos2b=0
即
根号2sin(2b-π/6)=0
所以2b-π/3=kπ
(k属于z)
b=π/6+kπ/2又因为b为锐角三角形的内角,所以k=0,b=π/6
即角b=30度.
(二)可用正弦定理
a/sina=b/sinb
a=bsina/sinb=bsin(180°-b-c)/sinb=bsin(b+c)/sinb
s(△abc)=absinc/2=b^2sincsin(b+c)/2sinb
=b^2(sinc^2cosb+sinccoscsinb)/2sinb
=b^2[(1-cos2c)cosb/2+sin2csinb/2]/2sinb
三角形面积最大则有2c+b=180度最大值b^2[cosb+1]/4sinb
=1/2

Answer 2

解：因为
tanA-tanB=根号3/3(1+tanAtanB)，
所以
(tanA--tanB)/(1+tanAtanB)=根号
3/3，
所以
tan(A--B)=根号3/3，
所以
A--B=30度，
因为
c^2=a^2+b^2--ab,
所以
（a^2+b^2--c^2)/2ab=1/2,
所以
cosC=1/2,
所以
C=60度，
A+B=120度，
因为
A--B=30度，
所以
A=75度，B=45度。