高等数学极限连续性

Question

这个为什么不连续，求解释过程，谢谢了

Answer 1

令 y＝kx，
原式＝k/(1＋k²)，
这说明，沿不同的直线方向趋向原点，所得的极限不同。
所以原极限是不存在的。

Answer 2

因为当动点(x,y)沿直线y=kx趋向点(0,0)时有
lim(x→0,y→0)xy/(x²+y²)
＝lim(x→0)kx²/(x²+k²x²)
＝k/(1+k²)，
易见该值随k值的不同而不同，故该二重极限不存在，所以该函数在(0,0)处不连续(因为连续要求极限值与函数值都存在且相等)
【注】题目中的f(x,y)应在(x,y)=(0,0)时有定义，否则无需判断极限的存在性即可直接判定f(x,y)在(0,0)处不连续.