设圆半径为R，圆心O、P圆内一定点，于是OP为定值设过P的一条弦为AB，连OA，OB，作OH⊥AB于H，于是由垂径定理有AH=HB。
由勾股定理：
AB²=4AH²=4(R²-OH²)=4R²-4(OP²-PH²)=4R²-4OP²+4PH²
要使AB为最小的,而4R²-4OP²为定值。
于是要4PH²最小，为0，此时P与H重合.即过P点最短的的弦是垂直于OP的弦。
扩展资料：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等），：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点中更具一般性。
三角形的弦定义：直角三角形的斜边。两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边，长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
参考资料来源：百度百科-弦
参考资料来源：百度百科-勾股定理
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