第1个回答 2023-09-26
唯一性:
lim Xn=a lim Xn=b
由定义:
任意ε>0,存在N1>0,当n>N1,有|Xn-a|<ε/2
对上述ε>0,存在N2>0,当n>N2,有|Xn-b|<ε/2
因此,取N=max{N1,N2}
对上述ε>0,存在N>0,当n>N,有|Xn-a|<ε且|Xn-b|<ε/2
而,|b-a|=|Xn-a-Xn+b|<|Xn-a|+|Xn-b|<ε/2+ε/2=ε
故,a=b
保号性:
lim xn=a>0
由定义:
任意ε>0,存在N>0,当n>N,有|xn-a|<ε
由ε的任意性可知,上定义对任何ε都成立
不妨取ε=a/2
则有,|xn-a|<a/2
即,a/2<xn<3a/2
故有:
存在N>0,当n>N,有xn>a/2
同理可证a<0的情况
保号性的意义:
如果有一个数列an,其极限lim an=a>0
那么,我们可以知道,必定存在一个N,当n>N,所有的an>0
小于0同理
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