函数可导，左极限和右极限都存在是什么意思啊？

Question

如题所述

Answer 1

函数在某点可导的充要条件是函数在该点的左右极限都存在且相等。 也可以说是左导数和右导数都存在且相等。

左极限就是函数从一个点的左侧无限靠近该点时所取到的极限值，且误差可以小到我们任意指定的程度，只需要变量从坐标充分靠近于该点。

右极限就是函数从一个点的右侧无限靠近该点时所取到的极限值，且误差可以小到我们任意指定的程度，只需要变量从坐标充分靠近于该点。

扩展资料

所有多项式函数都是连续的。各类初等函数，如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数。

绝对值函数也是连续的。

定义在非零实数上的倒数函数f= 1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数，那么无论函数在零点取任何值，扩张后的函数都不是连续的。

非连续函数的一个例子是分段定义的函数。例如定义f为：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-邻域使所有f(x)的值在f(0)的ε邻域内。直觉上我们可以将这种不连续点看做函数值的突然跳跃。

Answer 2

函数在某一点可导意味着该函数在这一点附近是连续的，而左极限和右极限的存在则进一步描述了这种连续性。具体来说，如果一个函数在某一点的左侧和右侧都有定义，并且当自变量无限接近这一点时，函数值都趋向于一个确定的值，那么我们就说这个函数在这一点的左极限和右极限都存在。
此外，导数是描述函数在某一点处切线斜率的概念。若左导数和右导数（即函数在这一点两侧的切线斜率）都存在且相等，那么函数在这一点是可导的。而导函数的左右极限则是导函数作为独立函数时求得的函数极限，与原函数联系不大。
要注意的是，导函数在某一地点的左（右）极限和原函数在同一点的左（右）导数是两个不同的概念。简单地说，导数描述的是函数曲线在某一点的切线斜率，而极限描述的是函数值随着自变量的变化趋势。
总结来说，当一个函数在某一点可导时，它的左极限和右极限一定存在；但反之，当一个函数在某一点的左极限和右极限都存在时，该函数并不一定在该点可导。不过，如果左右极限存在且相等，那么该函数在该点一定是连续的。