设实对称矩阵A为m阶正定矩阵，B为m×n实矩阵，试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n．

如题所述

推荐答案 2023-04-23

【答案】：必要性：设B^TAB为正定矩阵，对任意的n维列向量X≠0有
X^T(B^TAB)X＞0，即(BX)^TA(BX)＞0
于是BX≠0，则BX=0只有零解，所以B的列向量组线性无关，r(B)=n．
充分性：∵(B^TAB)^T=B^TA^TB=B^TAB，所以B^TAB为对称矩阵．
当r(B)=n时，BX=0只有零解．即对任意X≠0，BX≠0，由A是正定的，得
X^T(B^TAB)X=(BX)^TA(BX)＞0，
故B^TAB为正定矩阵．

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