急求解一道离散信号与系统的时域分析的题的详细过程

Question

描述LTI离散系统的差分方程为y(k)-0.7y(k-1)+0.1y(k-2)=7f(k)-2f(k-1)。已知系统在k=0时接入输入f(k)=ε(k)，完全响应的初始值y(0)=14,y(1)=13.1。求系统的零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应、暂态响应和稳态响应。

该题最后答案是：yx(k)=[6(0.5)^k+(0.2)^k]ε(k)
yf(k)=12.5-[5(0.5)^k+0.5(0.2)^k]ε(k)
自由响应（暂态响应）：[(0.5)^k+0.5(0.2)^k]ε(k)
强迫响应（稳态响应）：12.5
谢谢，不过首先问题就有：
在算零输入响应满足方程：y(k)-0.7y(k-1)+0.1y(k-2)=0
特征根为0.2，和0.5；
得齐次解为y1=C1(0.2)^k+C2(0.5)^k;
将初始值代入得Y (0)=C1+C2=14;
Y(1)=C1（0.2)^1+C2（0.5）^1=13.1；代入初始值却得不出C1=1，C2=6.貌似不能直接将完全响应的初始值代进去。这道题问题的关键也是在这里。不知您能否帮我解决。

Answer 1

零输入响应满足方程：y(k)-0.7y(k-1)+0.1y(k-2)=0
特征根为0.2，和0.5；
得齐次解为y1=C1(0.2)^k+C2(0.5)^k;
将初始值代入得Y (0)=C1+C2=14;
Y(1)=C1（0.2)^1+C2（0.5）^1=13.1；
求出C1，C2，可得到零输入响应yx(k)=[6(0.5)^k+(0.2)^k]ε(k)
零状态响应满足y(k)-0.7y(k-1)+0.1y(k-2)=7f(k)-2f(k-1)
由初始条件得 yf(k)=7f(k)-2f(k-1)
-0.7y(k-1)+0.1y(k-2）；
系统的零状态响应是非齐次方程的全解，分别求出方程的齐次解和特解，再代入初始值可得
yf(k)=12.5-[5(0.5)^k+0.5(0.2)^k]ε(k)
全响应为
y（k）＝yx（k）＋yf（k）
在全响应中齐次解为自由响应，特解为强迫响应；
自由响应（暂态响应）：[(0.5)^k+0.5(0.2)^k]ε(k)

强迫响应（稳态响应）：12.5
具体我就不列举了，希望对你能有点帮助！

Answer 2

可以把0，1代入原差分方程，通过y(0),y(1)推出y(-1)=17,y(-2)=49，解出零输入时C1=6,C2=1
解零状态时，y(-1)=y(-2)=0,同样把0,1代入，得出y(0)=7,y(1)=9.9,算时加上特解Y=12.5即可本回答被提问者采纳