什么是卡丹公式，希望有完整的推导过程

Question

如题所述

Answer 1

卡丹公式是一元三次方程的求根公式
已知一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0 (a≠0)
设x=y-(b/(3a))
将原方程两边同除以a,再将y代回原方程得
y³+((3ac-b²)/(3a²))+((27a²d-9abc+2b³)/(27a³))
设p=((3ac-b²)/(3a²)) q=((27a²d-9abc+2b³)/(27a³))
则原式化为y³+py+q=0，移项得y³=-py+(-q)
设y=u+v
因为(u+v)³=u³+v³+3uv(u+v)
所以y³=3uvy+u³+v³
所以3uv=-p u³+v³=-q
u³+v³=-q u³v³=-(q/3)³
所以u³与v³可视为一元二次方程t²+qt+(-(q/3)³)=0的两个根
所以u³=-(q/2)+√((q/2)²+(p/3)³)
v³=-(q/2)-√((q/2)²+(p/3)³)
可看出u、v各有三个值，设第n个值分别为u(n)、v(n)
所以u(n)=ω^(n-1)((-(q/2)+√((q/2)²+(p/3)³))^(1/3))
v(n)=ω^(n-1)((-(q/2)-√((q/2)²+(p/3)³))^(1/3))
其中ω=-(1/2)+((√(3))/2)i，n取1，2，3，i=(√(-1))
又因为3uv=-p
所以u与v取值有三组，为
u(1)与v(1)，u(2)与v(3)，u(3)与v(2)
又因为y=u+v x=y-(b/(3a)) p=((3ac-b²)/(3a²))
q=((27a²d-9abc+2b³)/(27a³))
所以可得卡丹公式
x(n)=-(b/(3a))+ω^(n-1)(((27a²d-9abc+2b³)/(54a³))+
√(((27a²d-9abc+2b³)/(54a³))²+((3ac-b²)/(9a²))³))^(1
/3)+ω^(2n-2)(((27a²d-9abc+2b³)/(54a³))-√(((27a²d-9abc+2b³)/(54a³))²+((3ac-b²)/(9a²))³))^(1/3)
其中n取1，2，3
这就是卡丹公式

Answer 2

卡丹公式

确定一般的三次方程的根的公式.
如果用现在的数学语言和符号,卡丹公式的结论可以借助于下面这样一种最基本的设想得出。
假如给我们一个一般的三次方程：
ax3+3bx2+3cx+d=0 （1）
如果令
x=y-b/a
我们就把方程（1）推导成
y3+3py+2q=0 （2）
其中3p=3c/a-3b2/a2，2q=2b3/a3-3bc/a2+d/a 。
借助于等式
y=u-p/u
引入新变量u 。把这个表达式带入（2），得到：
（u3）2+2qu3-p3=0 （3）
由此得
u3=-q±√（q2+p3），
于是
y=3√（-q±√（q2+p3））-p/3√（-q±√（q2+p3）） 。
=3√（-q+√（q2+p3））+3√（-q-√（q2+p3）） 。
（最后这个等式里的两个立方根的积等于-p 。）
这就是著名的卡丹公式。
如果再由y转到x，那么，就能得到一个确定一般的三次方程的根的公式。本回答被网友采纳