第1个回答 2011-07-21
1.已知函数f(x)的定义域为x>0,且满足条件f(x)=f(1/x)lgx+1,求f(x)的表达式。
解:∵f(x)=f(1/x)lgx+1......................(1)
∴f(1/x)=f(x)lg(1/x)+1=-f(x)lgx+1.......(2)
将(2)代入(1)式得f(x)=[-f(x)lgx+1]lgx+1=-f(x)lg²x+lgx+1
(1+lg²x)f(x)=lgx+1
∴f(x)=(1+lgx)/(1+lg²x)
2.已知f(x)=(bx+1)/(2x+a),a,b为常数,且ab≠2;
①若f(1/x)=k,求常数k;②若f[f(1)]=k/2,求a,b的值。
解:①f(1/x)=(b/x+1)/(2/x+a)=(x+b)/(ax+2)=(x+b)/[a(x+2/a)]=k,只有b=2/a,即ab=2时,k=1/a
才可能是常数;但条件规定ab≠2,这就不知道该怎么求了!
②f(1)=(b+1)/(2+a),f[f(1)]=[b(b+1)/(2+a)+1]/[(2(b+1)/(2+a)+a]=[b(b+1)+(2+a)]/[2(b+1)+a(2+a)]
=(b²+b+a+2)/(a²+2a+2b+2)=k/2
即有(2b²+2a+2b+4)/(a²+2a+2b+2)=k
故得a=2,b=1,k=1.
3.设函数f(x)=(ax+b)/(x-c)(x≠c)不恒为零,且对定义域内的任意x都有f(2+x)+f(2-x)=0,而f[f(x)]
=2(x-c)/(2c-x),求f(x).
解:f(2+x)+f(2-x)=[a(2+x)+b]/(2+x-c)+[a(2-x)+b]/(2-x-c)=(ax+2a+b)/(x-c+2)+(-ax+2a+b)/(-x-c+2)
=(ax+2a+b)/(x-c+2)+(ax-2a-b)/(x+c-2)=0
故有x-c+2=x+c-2,即有2c=4,故c=2;ax+2a+b=-(ax-2a-b),即有2ax=0,故a=0.
故f(x)=b/(x-2);故f[f(x)]=b/[b/(x-2)-2]=b(x-2)/(b-2x+4)=b(x-2)/(-2x+b+4)
又已知f[f(x)]=2(x-c)/(2c-x)=2(x-2)/(4-x),故得:
b(x-2)/(-2x+b+4)=2(x-2)/(4-x),
即有b/(-2x+b+4)=2/(4-x),b(4-x)=2(-2x+b+4),-bx+4b=-4x+2b+8,于是得b=4.
∴f(x)的解析式为:f(x)=4/(x-2).