解含绝对值的不等式的疑问 急！

Question

http://zhidao.baidu.com/question/234426519.html 我有疑问，最佳答案里说“最后再把三次求得的X的范围求并集就是答案。”倒数第4行，这句话中的“并集”是什么意思？是不是合并的意思？还有倒数第3行中，“每次求得的答案应该先和X的范围求交集，防止漏解”这其中的“和X的范围求交集”又是什么意思？比如例题：
对于任意实数X, 丨X+1丨—丨X—2丨>K恒成立,求K取值范围
请先用文字解答我的疑问,再以我的例题来解释,我需要学会含绝对值不等式的解法!

Answer 1

集合中的并集、交集那是高一数学一开始就学的内容
并集就是合并在一起的意思，相同的部分只取一次
交集就是两个集合的公共部分构成的集合
解含绝对值的不等式方法就是以绝对值内为0时的x值为分界点进行分类讨论
“和X的范围求交集”
是指，讨论的每一种情况下解得一个x的范围，要与讨论的前提x的范围取交集
比如 你的题目
对于任意实数X, 丨X+1丨—丨X—2丨>K恒成立
这是一个恒成立问题，与纯粹的解绝对值不等式略有差别
只需丨X+1丨—丨X—2丨的最小值大于k
x<-1 丨X+1丨—丨X—2丨=-1-x-2+x=-3
x>2 丨X+1丨—丨X—2丨=x+1-x+2=3
-1≤x≤2 丨X+1丨—丨X—2丨=1+x-2+x=2x-1 属于-3到3
所以 -3≤丨X+1丨—丨X—2丨≤3
即丨X+1丨—丨X—2丨的最小值为-3
所以-3>k即k<-3追问

那么我的例题中X是全体实数，则本题的交集其实不用考虑是吧 解含绝对值得不等式用哪个方法最好？像楼下的用图像坐标轴的方法好吗，我解题要速度快的。

追答

一般都用讨论法不易错，能理解的话楼下方法应该更快一些！

追问

我这里还有道题：当a<0时，关于X的不等式丨ax—b丨≥1的解集是 ？
这道题先讨论，然后得出2个结果：1、x≤(b+1)÷a 2.x≥(b-1)÷a
那么，X是在这两个解之中还是之外呢，是x≤(b+1)÷a 或x≥(b-1)÷a 还是(b-1)÷a≤x≤(b+1)÷a ？解释为什么？

追答

首先按照形如|M|≥t的解法M≥t或M≤-t
此题无需讨论
解：丨ax—b丨≥1
ax—b≥1或ax—b≤-1
即ax≥b+1或ax≤b-1
由a<0知，两边同除以a，不等号应变号
x≤(b+1)÷a 或x≥(b-1)÷a

追问

首先说声谢谢，辛苦了，但我还是想问，是x≤(b+1)÷a 或x≥(b-1)÷a 还是(b-1)÷a≤x≤(b+1)÷a ？就是X在两个解之间，还是两边，你貌似没有解释，请解释为什么，这是最后一个追问，谢谢

追答

形如|M|≥t解得M≥t或M≤-t 这是两根之外
形如|M|≤t解得-t≤M≤t 这是两根之间
直接按基本方法依次解下来就得到x≤(b+1)÷a 或x≥(b-1)÷a
解题过程就是解释为什么，你仔细看一下解题过程，
形如X>X1或x<x2是指在两个解的两边，
形如x1<x<x2是指在两个解之间!

Answer 2

"并集"就是合并的意思
"交集"就是x在分段中的范围与解出x的解的交集才符合分段解不等式的意义.如果交集是空集说明这个分段的解无解即无意义,可舍去.
如例题
零点即是-1和2,现在分段去绝对值讨论:
①当x< -1时,不等式去绝对值为 -x-1-(2-x)>k, =>k< -3
②当 -1≤ x≤ 2时,不等式去绝对值为 x+1-(2-x)>k, =>x>(K+1)/2,
此时的解x>(K+1)/2与x的分段范围 -1≤ x≤ 2的交集,即(K+1)/2<2 解得 k< 3
③当x> 2时,不等式去绝对值为 x+1-(x-2)>K, =>k<3
所以①②③取k的最小范围即可满足任意x都满足不等式,得知 k< -3

Answer 3

基本上如此
x<-1 丨X+1丨—丨X—2丨=-1-x-2+x=1
-1<x<2 丨X+1丨—丨X—2丨=1+x-2+x=2x-1 属于-3到3
x>2 丨X+1丨—丨X—2丨=x+1-x+2=3
所以k<-3

Answer 4

首先明白绝对值的几何意义：丨X+1丨的几何意义是数轴上到-1的距离，丨X—2丨的几何意义是数轴上到2的距离，丨X+1丨—丨X—2丨的几何意义是数轴上到-1与到2之间的距离之差，要使丨X+1丨—丨X—2丨>K恒成立，也就是要数轴上到-1与到2之间的距离之差的最小值>K，即-3>K