求证:任何大于1的自然数的立方,一定可以写成两个自然数的平方差。

Question

如题所述

Answer 1

设m³=a²-b²=(a-b)(a+b)，m＞1
a-b与a+b的奇偶性相同
也就是说，只要a²-b²能分解成两个奇偶性相同的数的乘积，
方程组
a-b=k1
a+b=k2
就一定有自然数解
1）m为偶数时
m³至少含有两个因数2，所以一定能分解成两个偶数的乘积
2）m为奇数时
m³也是奇数，至少能分解成1和m³这两个奇数的乘积
所以：任何大于1的自然数的立方,一定可以写成两个自然数的平方差

Answer 2

大于1的自然数的立方是正整数，我们先看看什么正整数可以写成两个自然数的平方差：
设这个数为a，
当a=2k+1（k为自然数）时，
a=2k+1=k^2+2k+1-k^2=(k+1)^2-k^2，而k+1,k都是自然数，因此任何奇正整数都可以写成两个自然数的平方差
当a=4k（k为正整数）时，
a=4k=(k^2+2k+1)-(k^2-2k+1)=(k+1)^2-(k-1)^2
k+1,k-1都是自然数，因此任何4的倍数的正整数也可以写成两个自然数的平方差
至此，问题已经解决了。奇数的立方是奇数，偶数的立方是4的倍数，所以任何大于1的自然数的立方，一定可以写成两个自然数的平方差。
（这里自然数包括0，而正整数不包括0）

Answer 3

当m为偶数时，令m=2k，k∈N
m^3=(2k)^3=k^2*8k=k^2*{(k+2)^2-(k-2)^2}={k(k+2)}^2-{k(k-2)}^2
当m为奇数时，令m=2k+1，k∈N
m^3=(2k+1)^3=(2k+1)^2*(2k+1)=(2k+1)^2*{(k+1)^2-k^2}={(2k+1)(k+1)}^2-{k(2k+1)}^2